Hopp til innhold
Fagartikkel

Rasjonale funksjoner, horisontal asymptote og asymptotefunksjon

Ved å finne grenseverdien for en rasjonal funksjon når x går mot pluss eller minus uendelig, finner vi samtidig den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen. Hva skjer dersom denne grenseverdien ikke eksisterer?

Horisontale asymptoter kan vi finne ved å la x gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall.

Linja  y=a  er en horisontal asymptote for funksjonen f dersom limx±fx=a.

Eksempel 1

For funksjonen  fx=x-2x+2  har vi at

limx±fx=limx±x-2x+2=limx±xx-2xxx+2x=limx±1-2x1+2x=1-01+0=1

Det betyr at den horisontale asymptoten til funksjonen f er  y=1. Nedenfor har vi tegnet både den horisontale og den vertikale asymptoten sammen med funksjonen.

Vi kan finne asymptotene med kommandoen Asymptote(f) i CAS i GeoGebra. Merk at her antar vi at funksjonen f er skrevet inn på forhånd. Hvis ikke, må vi enten først skrive inn funksjonen før vi bruker kommandoen eller sette inn selve funksjonsuttrykket mellom parentesene i kommandoen. Trykk på den hvite sirkelen ved ett-tallet i CAS-vinduet for å få tegnet asymptotene i grafikkfeltet.

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0

Tips: Når du skal tegne grafen til en rasjonal funksjon for hånd, er det lurt å finne asymptotene først.

Eksempel 2

For funksjonen  fx=3x2x2-x  har vi at

limx±fx=limx±3x2x2-x=limx±3x2x2x2x2-xx2=limx±31-1x=31-0=3

Når x går mot pluss eller minus uendelig, vil grafen nærme seg linja  y=3.

Linja  y=3  er derfor en horisontal asymptote for funksjonen f. Nedenfor har vi tegnet både den horisontale og den vertikale asymptoten sammen med funksjonen. Merk at funksjonen ikke eksisterer for  x=0. Derfor har vi markert dette på grafen.

Oppgave 1

Finn asymptotene til funksjonen f med CAS.

Eksempel 3 – asymptotefunksjon

Ikke alle rasjonale funksjoner har en horisontal asymptote. I dette eksempelet skal du utforske det selv – med litt hjelp.

Oppgave 2

Finn asymptotene til funksjonen  fx=x2x-1.

Tips

Den enkleste måten er å bruke CAS og først skrive inn funksjonen og deretter bruke kommandoen Asymptote(f).

Løsning

Nedenfor har vi funnet asymptotene med CAS i GeoGebra.

Her får vi at  x=1  er den vertikale asymptoten til funksjonen f, men  y=x+1  er ikke den horisontale asymptoten. Dette er ei rett linje med stigningstall lik 1. Derfor kaller vi dette en asymptotefunksjon til funksjonen f.

Oppgave 3

Tegn grafen til funksjonen f sammen med asymptotene.

Løsning

Dersom du fant asymptotene på måten som ble beskrevet i løsningen på den forrige oppgaven, er funksjonen allerede tegnet i grafikkfeltet i GeoGebra. Hvis du trykker på den hvite sirkelen rett under to-tallet i linje 2 i CAS-feltet, blir også asymptotene tegnet.

Vi ser at funksjonen kryper inntil asymptotefunksjonen  y=x+1  når  x±.

Oppgave 4

Vis ved å gjennomføre polynomdivisjon at funksjonen f(x) kan skrives som

fx=x+1+1x-1

Løsning

x2:(x1) = x+1+1x-1 (x2x)x-(x1)1

Polynomdivisjonen går ikke opp. Vi får en rest lik 1. Denne resten skal også deles på  x-1. Derfor må vi legge til brøken 1x-1.

Vi kan også polynomdividere med GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Divisjon()". Dersom du får problemer med å skrive inn kommandoen, bruk stor D i "Divisjon".

Legg merke til at divisjonsresten kommer etter kommaet i svaret.

Oppgave 5

Bruk resultatet i oppgave 4 til å forklare hvorfor

 f(x)x+1  når  x±

Løsning

Vi har at  fx = x+1+1x-1. Brøken i det siste leddet går mot 0 når  x±  fordi nevneren går tilsvarende mot pluss eller minus uendelig. Derfor får vi at

f(x)x+1  når  x±

Oppgave 6

I eksempel 1 og 2 finner vi den horisontale asymptoten ved å finne grenseverdien

limx±fx

Eksisterer denne grenseverdien for funksjonen i eksempel 3?

Løsning

Vi har fra den forrige oppgaven at  f(x)x+1  når  x±, men uttrykket  x+1  går mot uendelig når  x±. Grenseverdien kan derfor ikke eksistere.

Oppgave 7

Diskuter påstanden: "Dersom grenseverdien i den forrige oppgaven hadde eksistert, ville funksjonen ha hatt en horisontal asymptote."

Kommentar

Dersom grenseverdien hadde eksistert, ville det betydd at funksjonen gikk mot en fast verdi når  x±. En fast verdi betyr at funksjonen kryper inntil en fast verdi når x blir veldig stor – og vi har en horisontal asymptote.

Relatert innhold