Rasjonale funksjoner, horisontal asymptote og asymptotefunksjon
Ved å finne grenseverdien for en rasjonal funksjon når x går mot pluss eller minus uendelig, finner vi samtidig den horisontale asymptoten til grafen til funksjonen. Hva skjer dersom denne grenseverdien ikke eksisterer?
Horisontale asymptoter kan vi finne ved å la gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall.
Linja er en horisontal asymptote for funksjonen f dersom limx→±∞fx=a.
Det betyr at den horisontale asymptoten til funksjonen f er y=1. Nedenfor har vi tegnet både den horisontale og den vertikale asymptoten sammen med funksjonen.
Vi kan finne asymptotene med kommandoen Asymptote(f) i CAS i GeoGebra. Merk at her antar vi at funksjonen f er skrevet inn på forhånd. Hvis ikke, må vi enten først skrive inn funksjonen før vi bruker kommandoen eller sette inn selve funksjonsuttrykket mellom parentesene i kommandoen. Trykk på den hvite sirkelen ved ett-tallet i CAS-vinduet for å få tegnet asymptotene i grafikkfeltet.
Tips: Når du skal tegne grafen til en rasjonal funksjon for hånd, er det lurt å finne asymptotene først.
Når x går mot pluss eller minus uendelig, vil grafen nærme seg linja y=3.
Linja y=3 er derfor en horisontal asymptote for funksjonen f. Nedenfor har vi tegnet både den horisontale og den vertikale asymptoten sammen med funksjonen. Merk at funksjonen ikke eksisterer for x=0. Derfor har vi markert dette på grafen.
Oppgave 1
Finn asymptotene til funksjonen f med CAS.
Eksempel 3 – asymptotefunksjon
Ikke alle rasjonale funksjoner har en horisontal asymptote. I dette eksempelet skal du utforske det selv – med litt hjelp.
Oppgave 2
Finn asymptotene til funksjonen fx=x2x-1.
Tips
Den enkleste måten er å bruke CAS og først skrive inn funksjonen og deretter bruke kommandoen Asymptote(f).
Løsning
Nedenfor har vi funnet asymptotene med CAS i GeoGebra.
Her får vi at x=1 er den vertikale asymptoten til funksjonen f, men y=x+1 er ikke den horisontale asymptoten. Dette er ei rett linje med stigningstall lik 1. Derfor kaller vi dette en asymptotefunksjon til funksjonen f.
Oppgave 3
Tegn grafen til funksjonen f sammen med asymptotene.
Løsning
Dersom du fant asymptotene på måten som ble beskrevet i løsningen på den forrige oppgaven, er funksjonen allerede tegnet i grafikkfeltet i GeoGebra. Hvis du trykker på den hvite sirkelen rett under to-tallet i linje 2 i CAS-feltet, blir også asymptotene tegnet.
Vi ser at funksjonen kryper inntil asymptotefunksjonen y=x+1 når x→±∞.
Oppgave 4
Vis ved å gjennomføre polynomdivisjon at funksjonen f(x) kan skrives som
fx=x+1+1x-1
Løsning
x2:(x⎯1)=x+1+1x-1⎯(x2⎯x)x-(x⎯1)1
Polynomdivisjonen går ikke opp. Vi får en rest lik 1. Denne resten skal også deles på x-1. Derfor må vi legge til brøken 1x-1.
Vi kan også polynomdividere med GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Divisjon()". Dersom du får problemer med å skrive inn kommandoen, bruk stor D i "Divisjon".
Legg merke til at divisjonsresten kommer etter kommaet i svaret.
Oppgave 5
Bruk resultatet i oppgave 4 til å forklare hvorfor
f(x)→x+1 når x→±∞
Løsning
Vi har at fx=x+1+1x-1. Brøken i det siste leddet går mot 0 når x→±∞ fordi nevneren går tilsvarende mot pluss eller minus uendelig. Derfor får vi at
f(x)→x+1 når x→±∞
Oppgave 6
I eksempel 1 og 2 finner vi den horisontale asymptoten ved å finne grenseverdien
limx→±∞fx
Eksisterer denne grenseverdien for funksjonen i eksempel 3?
Løsning
Vi har fra den forrige oppgaven at f(x)→x+1 når x→±∞, men uttrykket x+1 går mot uendelig når x→±∞. Grenseverdien kan derfor ikke eksistere.
Oppgave 7
Diskuter påstanden: "Dersom grenseverdien i den forrige oppgaven hadde eksistert, ville funksjonen ha hatt en horisontal asymptote."
Kommentar
Dersom grenseverdien hadde eksistert, ville det betydd at funksjonen gikk mot en fast verdi når x→±∞. En fast verdi betyr at funksjonen kryper inntil en fast verdi når x blir veldig stor – og vi har en horisontal asymptote.