En sirkel i planet
Til høyre ser du en sirkel med sentrum i punktet . Vi setter radius i sirkelen lik . Sirkelen er samlingen av, eller det geometriske stedet for, alle punkter som har avstanden fra punktet .
Vi lar være vektoren fra sentrum i sirkelen,
Da er
Dette gir
Setning
Likningen for en sirkel med sentrum i
Legg merke til at en sirkel per definisjon bare er samlingen av punkter som har avstand r fra sentrum.
Noen ganger blir imidlertid begrepet «sirkel» brukt om hele området som er avgrenset av denne samlingen av punkter. Vi snakker for eksempel om «arealet av en sirkel». Punktene som har avstanden r fra sentrum, kalles da «sirkelperiferien».
Eksempel 1
Vi skal finne likningen for en sirkel som har sentrum i
Her er
Setningen ovenfor gir oss likningen for denne sirkelen
Eksempel 2
Vi skal bestemme sentrum og radius i en sirkel som er gitt ved
Hvis vi sammenlikner med likningen
Sirkelen har sentrum i
En sirkel har likningen
Vi har sett at likningen for en sirkel med sentrum i
Vi kan regne ut venstresida slik:
Vi ser at vi får et uttrykk hvor både
Likningen kan derfor være en sirkellikning.
For å være helt sikre, og finne sentrum og radius i en eventuell sirkel, må vi skrive om likningen slik at vi får den på formen
Uttrykkene
I matematikk 1T lærte du å skrive om uttrykk for å lage fullstendige kvadrater. Nedenfor har vi tatt med to eksempler, men hvis du er usikker, kan du gå til sida Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater fra 1T og repetere dette skikkelig!
Husk at et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som kan faktoriseres ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.
Eksempel 1
Vi skal undersøke om
Vi må da sjekke om førstegradsleddet er «det dobbelte produkt», det vil si
Her er
Da er
Eksempel 2
Vi skal legge til et konstantledd slik at uttrykket
Siden andregradsleddet er
«Det dobbelte produktet»,
Da er
Vi får da at
For å lage fullstendig kvadrater sier vi ofte at vi må «halvere, kvadrere og addere». Ser du hva vi mener med det? Legg merke til at
Sirkelen vår
Nå går vi tilbake til sirkelen gitt ved likningen
Vi sorterer leddene og legger til det vi mangler for å få fullstendige kvadrater.
Legg merke til at vi legger til de samme leddene på begge sider av likhetstegnet!
Hvorfor må vi gjøre det?
Dette er altså likningen for en sirkel med sentrum i