Fagstoff

Å uttrykke en vektor på flere måter

Vi kan uttrykke en vektor som en sum av andre vektorer. Nå skal vi bruke dette til blant annet å utforske medianer i trekanter.

Å uttrykke en vektor som en sum av andre vektorer

Bildet viser trekant ABC med punkt A lik 2 komma 3, punkt B lik 8 komma 1 og punkt C lik 6 komma 5. Midtpunktet mellom B og C heter M. Vektor AM er tegnet inn. Skjermbilde.

Vi ønsker å uttrykke vektoren $\vec{A M}$ ved hjelp av vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .
$M$ er midtpunktet på $B C$ . Se figuren.

Vektoren $\vec{A M}$ kan uttrykkes på to måter:

$\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M}$ og $\vec{A M} = \vec{A C} + \vec{C M}$

Vektorene $\vec{B M}$ og $\vec{C M}$ er like lange og motsatt rettet. Det betyr at

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot \vec{A M} & = & \vec{A B} + \vec{B M} + \vec{A C} + \vec{C M} \\ 2 \cdot \vec{A M} & = & \vec{A B} + \vec{B M} + \vec{A C} - \vec{B M} \\ 2 \cdot \vec{A M} & = & \vec{A B} + \vec{A C} \\ \vec{A M} & = & \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} \end{array}$

Å bruke basisvektorer

Mange geometriske problemstillinger kan løses ved å uttrykke en vektor på to ulike måter. Vi «følger to veier» for å komme fra utgangspunkt til endepunkt.

Det vi egentlig har gjort i eksemplet over, er å dekomponere $\vec{A M}$ ved hjelp av $\vec{A B} og \vec{A C}$ . I noen tilfeller kan det bli ryddigere hvis vi gir navn til vektorene vi bruker som basisvektorer. Vi skal bruke dette for å bevise en viktig setning fra geometrien, nemlig mediansetningen.

Bevis for mediansetningen

En median i en trekant er et linjestykke som går fra et hjørne til midtpunktet på den motstående sida (se bildet under)

Mediansetningen om trekanter lyder slik:

De tre medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Dette skjæringspunktet deler medianene i forholdet 2 : 1.

En trekant ABC med midtpunktene M_1 på AB, M_2 på BC og M_3 på AC. Det er tegnet inn to vektorer, a-vektor som er lik AB-vektor, og b-vektor som er lik AC-vektor. Linjestykkene AM_2, BM_3 og C_M1 er tegnet inn. Skjæringspunktet mellom disse linjestykkene er kalt S. Vektoren AS er også tegnet inn. Skjermbilde.

Vi skal gjøre beviset for mediansetningen i to trinn. Først (trinn 1) skal vi vise at skjæringspunktet S mellom $A M_{2} og B M_{3}$ deler de to linjestykkene i forholdet 2 : 1. Så (trinn 2) skal vi vise at S også ligger på linjestykket $C M_{1}$ og deler dette i det samme forholdet.

Trinn 1:

På trekanten har vi satt $\vec{A B} = \vec{a} og \vec{A C} = \vec{b}$ . Da får vi at $\vec{B C} = - \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$ .

Vi starter med å uttrykke vektoren $\vec{A S}$ på to ulike måter ved hjelp av disse vektorene.

Først går vi direkte fra A til S. Vi vet at $\vec{A S}$ er parallell med $\vec{A M_{2}}$ , derfor kan vi skrive $\vec{A S} = k \cdot \vec{A M_{2}}$ :
$\vec{A S} = k \cdot \vec{A M_{2}} = k \cdot (\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B C}) = k \cdot (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a}) = \frac{1}{2} k \vec{a} + \frac{1}{2} k \vec{b}$ Så velger vi veien om B og får at:
$\vec{A S} = \vec{A B} + t \cdot \vec{B M_{3}} = \vec{a} + t (\vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A C}) = \vec{a} + t (- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = (1 - t) \vec{a} + \frac{1}{2} t \vec{b}$

Disse to uttrykkene beskriver den samme vektoren og må altså være like. Vi setter dem lik hverandre og løser likningssettet vi nå får:

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} k \vec{a} + \frac{1}{2} k \vec{b} = (1 - t) \vec{a} + \frac{1}{2} t \vec{b} \\ ⇕ \\ \frac{1}{2} k = 1 - t & \land & \frac{1}{2} k = \frac{1}{2} t \\ ⇕ \\ k = t \\ \frac{1}{2} t = 1 - t \\ ⇕ \\ t = \frac{2}{3} & k = \frac{2}{3} \end{array}$

Første trinn i beviset er nå ferdig – vi har vist at skjæringspunktet mellom to av medianene deler begge disse medianene i forholdet 2 : 1.

Trinn 2:

Nå skal vi vise at S også ligger på den siste medianen og deler denne i forholdet 2 : 1. Dette innebærer å vise at $\vec{C S} = \frac{2}{3} \vec{C M_{1}}$ .

Vi starter med å uttrykke de to vektorene ved hjelp av basisvektorene:

$\begin{array}{l} \vec{C S} = \vec{C A} + \vec{A S} = - \vec{b} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \vec{b} = \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} \\ \vec{C M_{1}} = \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{A B} = - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} \end{array}$

Ved å regne ut forholdet mellom koeffisientene til $\vec{a} og \vec{b}$ kan vi fullføre beviset:

$\begin{array}{l} \frac{\frac{1}{3} \vec{a}}{\frac{1}{2} \vec{a}} = \frac{2}{3} & \frac{- \frac{2}{3} \vec{b}}{- \vec{b}} = \frac{2}{3} \\ \vec{C S} = \frac{2}{3} \vec{C M_{1}} \end{array}$

Vi har nå, ved hjelp av å uttrykke en vektor på to måter, bevist både at alle medianene i trekanten krysser hverandre i ett og samme punkt, og at dette punktet deler alle medianene i forholdet 2 : 1.

CC BY-SASkrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist faglig oppdatert 05.01.2021