Oppgave

En sirkel i planet

Her kan du jobbe med oppgaver om sirkler i planet.

4.3.20

a) Gitt en sirkel med sentrum i $(1, 2)$ og radius 3. Finn likningen for sirkelen.

Løsning

$\begin{array}{l} |[x - 1, y - 2]| = 3 \\ \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} = 3 \\ {(\sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}})}^{2} = 3^{2} \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 3^{2} \end{array}$

b) Gitt en sirkel med sentrum i $(- 1, - 2)$ og diameter 6. Finn likningen for sirkelen.

Løsning

Radius i sirkelen blir 3, og vi kan sette:

$\begin{array}{l} |[x - (- 1), y - (- 2)]| = 3 \\ \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2}} = 3 \\ {(\sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2}})}^{2} = 3^{2} \\ {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 3^{2} \end{array}$

4.3.21

Bestem sentrum og radius til sirklene:

a) ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 2^{2}$

Løsning

Vi sammenligner med likningen: ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2}$

Vi ser at sirkelen har sentrum i $(1, - 3)$ og at $r = 2$ .

b) ${(x + 2)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 9$

Løsning

Vi ser at sirkelen har sentrum i $(- 2, 6)$ og at $r = 3$ .

c) $x^{2} + y^{2} = 100$

Løsning

Vi ser at sentrum er i $(0, 0)$ og at $r = 10$ .

4.3.22

Finn sentrum og radius til sirklene:

a) $x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y = 4$

Løsning

Vi lager fullstendige kvadrater:

$\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} + y^{2} - 2 y + {(\frac{2}{2})}^{2} = 4 + {(\frac{4}{2})}^{2} + {(\frac{2}{2})}^{2} \\ x^{2} + 4 x + 2^{2} + y^{2} - 2 y + 1^{2} = 4 + 2^{2} + 1^{2} \\ \underset{{(x + 2)}^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} + 4 x + 2}} + \underset{{(y - 1)}^{2}}{\underset{⏟}{y^{2} - 2 y + 1}} = 4 + 4 + 1 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3^{2} \end{array}$

Dette er likningen for en sirkel med sentrum i $(- 2, 1)$ og radius lik 3.

b) $x^{2} - 4 x + y^{2} = 12$

Løsning

Vi lager fullstendige kvadrater:

$\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + y^{2} = 12 \\ x^{2} - 4 x + {(- 2)}^{2} + y^{2} = 12 + {(- 2)}^{2} \\ {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 12 + 4 \\ {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4^{2} \end{array}$

Dette er likningen til en sirkel med sentrum i $(2, 0)$ og radius lik 4.

c) $\frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2} y^{2} + 3 y = 13$

Løsning

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2} y^{2} + 3 y = 13 & | \cdot 2 \\ x^{2} - 2 x + y^{2} + 6 y = 26 \\ x^{2} - 2 x + {(- 1)}^{2} + y^{2} + 6 y + {(\frac{6}{2})}^{2} = 26 + {(- 1)}^{2} + {(\frac{6}{2})}^{2} \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 26 + 1 + 9 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 36 \end{array}$

Dette er likningen til en sirkel med sentrum i $(1, - 3)$ og radius lik 6.

4.3.23

Undersøk om likningene representerer sirkler. Hvis de gjør det, finn sentrum og radius.

a) $x^{2} + 4 + y^{2} + 9 = 14$

Løsning

Vi ordner likningen:

$\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 14 - 4 - 9 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}$

Dette er likningen for en sirkel med sentrum i $(0, 0)$ og radius lik 1.

b) $4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x + 12 y + 6 = 0$

Løsning

Vi ordner likningen og lager fullstendige kvadrater:

$\begin{array}{l} 4 x^{2} - 4 x + 4 y^{2} + 12 y = - 6 | \cdot \frac{1}{4} \\ x^{2} - x + y^{2} + 3 y = - \frac{6}{4} \\ x^{2} - x + {(- \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 3 y + {(\frac{3}{2})}^{2} = - \frac{6}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} \\ {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = - \frac{6}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} \\ {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1 \end{array}$

Dette er likningen for en sirkel med sentrum i $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ og radius lik 1.

c) $x^{2} - 8 x + y^{2} + 2 y + 18 = 0$

Løsning

Vi lager fullstendige kvadrater:

$\begin{array}{l} x^{2} - 8 x + y^{2} + 2 y = - 18 \\ x^{2} - 8 x + 4^{2} + y^{2} + 2 y + 1^{2} = - 18 + 16 + 1 \\ {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = - 1 \end{array}$

Dette kan ikke være likningen for en sirkel siden vi får negativ høyre side. Likningen kan aldri bli oppfylt siden venstresida alltid er positiv eller null, og høyresida er negativ.

d) $2 x^{2} - 2 x + 3 y^{2} + 2 y = 4$

Løsning

Dette kan ikke være likningen for en sirkel. Grunnen er at vi ikke har samme tall foran begge andregradsleddene.

4.3.24

Vi har gitt punktene $A (4, 5)$ og $B (6, 11)$ . En sirkel har $A B$ som diameter. Bestem likningen for sirkelen.

Løsning

Vi finner først sentrum i sirkelen, som er midtpunktet $M$ på $A B$ :

$\begin{array}{l} \vec{O M} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A B} \\ [x, y] = [4, 5] + \frac{1}{2} [(6 - 4), (11 - 5)] \\ [x, y] = [4, 5] + \frac{1}{2} [2, 6] \\ [x, y] = [4 + 1, 5 + 3] \\ [x, y] = [5, 8] \end{array}$

Vi har altså $M (5, 8)$ .

Radius i sirkelen er gitt ved:

$\frac{1}{2} |\vec{A B}| = \frac{1}{2} |[2, 6]| = |[1, 3]| = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10} = \sqrt{10}$

$\begin{array}{l} |[x - 5, y - 8]| = \sqrt{10} \\ \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y - 8)}^{2}} = \sqrt{10} \\ {(\sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y - 8)}^{2}})}^{2} = {\sqrt{10}}^{2} \\ {(x - 5)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 10 \end{array}$

4.3.25

Ta utgangspunkt i sirkellikningene og uttrykk $y$ som en funksjon av $x$ .

a) ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3^{2}$

Løsning

$\begin{array}{l} {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3^{2} \\ {(y - 1)}^{2} = 9 - {(x + 2)}^{2} \\ y - 1 = \pm \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}} \\ y = \pm \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}} + 1, x \in [- 5, 1] \end{array}$

For at $y$ skal være en funksjon av $x$ , må hver verdi av $x$ gi én verdi av $y$ .
Vi trenger derfor to funksjoner for å beskrive sirkelen:

$\begin{array}{l} y_{1} = + \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}} + 1, & x \in [- 5, 1] \\ og \\ y_{2} = - \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}} + 1, & x \in [- 5, 1] \end{array}$

b) ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1$

Løsning

$\begin{array}{l} {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1 \\ {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1 - {(x - \frac{1}{2})}^{2} \\ y + \frac{3}{2} = \pm \sqrt{1 - {(x - \frac{1}{2})}^{2}} \\ y = \pm \sqrt{1 - {(x - \frac{1}{2})}^{2}} - \frac{3}{2}, x \in [- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}] \\ y_{1} = + \sqrt{1 - {(x - \frac{1}{2})}^{2}} - \frac{3}{2}, x \in [- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}] \\ y_{2} = - \sqrt{1 - {(x - \frac{1}{2})}^{2}} - \frac{3}{2}, x \in [- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}] \end{array}$

4.3.26

En rettvinklet trekant ABC i et koordinatsystem. Vi har A(0,0), B(3,0) og C(3,4). Den rette vinkelen er i B. Skjermutklipp. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Vi har gitt en rettvinklet trekant der $A (0, 0), B (3, 0)$ og $C (3, 4)$ . Se figur.

a) Finn lengden av $A C$ ved hjelp av pytagorassetningen.

Løsning

$\begin{array}{l} {(A C)}^{2} = {(A B)}^{2} + {(B C)}^{2} \\ {(A C)}^{2} = 3^{2} + 4^{2} \\ A C = 5 \end{array}$

Sett $A B = x, B C = y$ og $A C = 5$ .

b) Finn $y$ uttrykt ved $x$ .

Løsning

$\begin{array}{l} y^{2} = 5^{2} - x^{2} \\ y = \pm \sqrt{(5^{2} - x^{2})} & , x \in [- 5, 5] \end{array}$

c) Tegn funksjonene du fant i b). Hva beskriver funksjonene?

Løsning

Bilde av to funksjoner som til sammen gir en sirkel med sentrum i origo og radius lik 5. Trekanten fra oppgaveteksten er også tegnet inn, og punkt C tangerer sirkelperiferien. Den øverste halvdelen har funksjonsuttrykk roten av fem i andre minus x i andre. Den nederste halvdelen av sirkelen har funksjonsuttrykk minus roten av fem i andre minus x i andre. Skjermutklipp. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Funksjonene beskriver hver sin halvdel av sirkelen i figuren.

Sirkelen har sentrum i origo og radius lik 5.

4.3.20

4.3.21

4.3.22

4.3.23

4.3.24

4.3.25

4.3.26

Regler for bruk av teksten "En sirkel i planet"