Hopp til innhold
Fagartikkel

Fullstendige kvadraters metode

Hva er et fullstendig kvadrat, og hvordan kan vi faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater?

Fullstendige kvadrater

Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

For eksempel er uttrykkene x2-6x+9 og 4x2+4x+1 fullstendige kvadrater fordi x2-6x+9=x-32 og 4x2+4x+1 = 2x+12.

Vi bruker ofte bokstavene a og b både i kvadratsetningene og i den generelle formelen for andregradsuttrykk. Det kan komplisere føringen, så vi velger her å bruke andre bokstaver for enkelhelts skyld. Da får vi kvadratsetningene på følgende form:

k+p2 = k2+2kp+p2k-p2 = k2-2kp+p2

Å gjenkjenne et fullstendig kvadrat

Det er ikke alltid så lett å se med en gang om et andregradsuttrykk på formen ax2+bx+c er et fullstendig kvadrat. Vi kan gå fram trinnvis for å sjekke. Vi bruker uttrykket x2-6x+9 som eksempel. Vi ser at det midterste leddet er negativt, så vi må sjekke om vi kan skrive det om til formen k-p2:

  1. Vi ser at andregradsleddet og konstantleddet er positivt.

  2. Vi setter k=x2=x og  p=9=3.

  3. Vi må sjekke om det midterste leddet kan skrives som 2kp. I dette tilfellet får vi at 2kp=2·x·3=6x, noe som stemmer med kravet.

  4. Kravene i punktene 1 og 3 er oppfylt, dermed har vi at

    x2-6x+9= k-p2=x-32

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal sjekke om uttrykket ax2+bx+c er et fullstendig kvadrat:

  1. Vi sjekker om andregradsleddet og konstantleddet er positivt.

  2. Vi setter k=ax2=ax og p=c .

  3. Vi sjekker om førstegradsleddet, bx , kan skrives som 2kp = 2a·x·c=2ac·x.

  4. Hvis kravene i punktene 1 og 3 er oppfylt, har vi et fullstendig kvadrat, og vi kan skrive uttrykket slik:

     ax2+bx+c=k+p2

Fullstendige kvadraters metode

Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrater, men det er mulig å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage et fullstendig kvadrat av de to første leddene og så bruke konjugatsetningen. Det er som oftest enklere å bruke andre metoder for å faktorisere andregradsuttrykk, men metoden er likevel viktig som et grunnlag for å forstå mer om andregradsuttrykk, andregradslikninger og senere også likninger for sirkler og kuler.

Vi viser metoden ved å gå gjennom et eksempel.

Vi skal faktorisere andregradsuttrykket x2+4x-5, som ikke kan faktoriseres direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Vi legger først konstantleddet litt til side og konsentrerer oss om de to første leddene i uttrykket, x2+4x. Vi ønsker å finne ut hva vi må legge til for å få dette til å bli et fullstendig kvadrat. Dette kaller vi å fullføre kvadratet.

Vi setter k=x2=x. Det neste leddet, 4x, må da være lik 2kp:

4x = 2kp 4x = 2·x·pp = 2

Dette betyr at vi må legge til p2=22=4 for å få et fullstendig kvadrat. Men hvis vi legger noe til, øker vi verdien på uttrykket vårt. Vi må derfor også trekke fra 4 for å beholde verdien slik den var:

x2+4x-5 =x2+4x+22Fullstendig kvadrat-4-5=x+22-9

Uttrykket x+22-9 kan vi kjenne igjen som den høyre siden av konjugatsetningen. Vi bruker igjen bokstavene k og p:

k-pk+p=k2-p2

Her får vi k=x+22=x+2 og p=9=3. Vi kan bruke dette til å faktorisere ferdig:

x2+4x-5 = x+22-32= x+2+3x+2-3= x+5x-1

Trinnvis framgangsmåte

Vi skal faktorisere uttrykket ax2+bx+c ved hjelp av fullstendige kvadraters metode:

  1. Vi setter k=ax2=ax.

  2. Så setter vi bx = 2kp = 2ax·p og regner ut p.

  3. Vi legger til p2 for å fullføre kvadratet og trekker fra p2 igjen.

  4. Vi skriver de tre første leddene som k+p2og trekker sammen konstantleddene.

  5. Til slutt faktoriserer vi ved hjelp av konjugatsetningen.


🤔 Tenk over: Dersom koeffisienten a til x2=1, finner vi enkelt p2 ved å dele koeffisienten b på 2 og opphøye dette tallet i 2. Kan du forklare det?

Forklaring

I et slikt tilfelle har vi at k=x. Vi setter 2kp=2xp=bx og får at p=b2. Vi legger til

p2=b22 for å fullføre kvadratet. Dette kalles ofte "halver, kvadrer og adder". Men legg merke til at dette bare fungerer dersom a=1!