Likninger, identiteter og uttrykk

Her har vi en identitet – vi ser at dette er et eksempel på konjugatsetningen. Uansett hvilken verdi vi setter inn for x, er HS = VS

Dette er ikke en identitet, for uttrykket er bare sant for $$ x=\pm 4$$.

Dette er en identitet. Hvis vi opphøyer $$ 4a$$ i 2, får vi $$ 16a^2$$ uavhengig av verdien til $$ a$$.

Dette er en identitet, det følger av potensregnereglene.

Dette er ikke en identitet, da likheten bare vil være oppfylt av spesifikke par av tall.

Dette er ikke en identitet, siden $$ 2^3= 8$$

CAS: $$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}-3}+\frac{4\mathrm{x}}{8\mathrm{x}+3}==\frac{16{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}}{16{\mathrm{x}}^2-18\mathrm{x}-9}\\ \stackrel{1}{}& & \\ & & \to \mathrm{true}\end{array}}$$

Vi ser at vi har en identitet.

CAS:

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{3}{3\mathrm{x}+2}-\frac{1}{2\mathrm{x}+4}==\frac{\mathrm{x}}{8}\\ \stackrel{1}{}& & \\ & & \to \mathrm{false}\end{array}}$$

Vi har ingen identitet, så vi sjekker om vi har reelle løsninger:
$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{3}{3\mathrm{x}+2}-\frac{1}{2\mathrm{x}+4}=\frac{\mathrm{x}}{8}\\ \stackrel{2}{○}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \{\mathrm{x}=2\}\end{array}}$$

Vi har altså en likning med én løsning.

CAS:

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}==-4\\ \stackrel{1}{}& & \\ & & \to \mathrm{false}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}=-4\\ \stackrel{2}{◯}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \{\hspace{0.17em}\}\end{array}} \end{gathered}$$

Vi ser at vi her ikke har en identitet, og heller ingen likning med reelle løsninger.

CAS:

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}==4\\ \stackrel{1}{}& & \\ & & \to \mathrm{false}\end{array}} \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}=4\\ \stackrel{2}{◯}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \{\mathrm{x}=-\sqrt{5}-1, \mathrm{x}=\sqrt{5}-1\}\end{array}}$$

Vi ser at vi ikke har en identitet, men en likning med to reelle løsninger.

CAS:

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{3}{3\mathrm{x}+2}-\frac{2}{2\mathrm{x}+4}==\frac{1}{\mathrm{x}}\\ \stackrel{1}{}& & \\ & & \to \mathrm{false}\end{array}} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{3}{3\mathrm{x}+2}-\frac{2}{2\mathrm{x}+4}=\frac{1}{\mathrm{x}}\\ \stackrel{2}{◯}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \{ \}\end{array}}$$

Vi har ingen identitet, og heller ingen reelle løsninger til likningen.

CAS:

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{3\mathrm{x}+2}{3}-\frac{2\mathrm{x}+4}{2}==\mathrm{x}\\ \stackrel{1}{}& & \\ & & \to \mathrm{false} \end{array}} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{3\mathrm{x}+2}{3}-\frac{2\mathrm{x}+4}{2}=\mathrm{x}\\ \stackrel{2}{◯}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{\mathrm{x} =-\frac{3}{4}\right\}\end{array}} \\ \begin{array}{}\\ \end{array} \end{gathered}$$

CAS:

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & 16(\mathrm{x}+2{)}^2(\mathrm{x}-3)==16{\mathrm{x}}^3+16{\mathrm{x}}^2-128\mathrm{x}-192\\ \stackrel{1}{}& & \\ & & \to \mathrm{true} \end{array}} $$

Her har vi en identitet.