Skalarproduktet

Skalarproduktet mellom to vektorer gir ikke en ny vektor som resultat, men en skalar (altså et tall). Derfor kalles det for skalarprodukt. Et annet navn er prikkprodukt. Vi sier at vi "prikker" to vektorer med hverandre.

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen

Merk at med vinkelen mellom to vektorer menes den minste vinkelen mellom dem når vektorene plasseres med det samme utgangspunktet.

Vinkelen mellom to vektorer er altså alltid mindre enn eller lik 180 grader.

Cosinus

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Når du skal regne ut skalarproduktet mellom to vektorer, må du finne cosinus til vinkelen mellom vektorene. I matematikk 1T definerte vi cosinus til en vilkårlig vinkel ved hjelp av enhetssirkelen, se figuren.

Du kan alltid finne cosinus til en vinkel ved å bruke et digitalt verktøy. Noen cosinusverdier bør du likevel klare å finne ved hjelp av enhetssirkelen. Gå til denne artikkelen fra 1T hvis du er usikker. Bruk enhetssirkelen og finn$\cos 0°, \cos 90°$, og$\cos 180°$.

For hvilke vinkler er cosinusverdien, og dermed også skalarproduktet, negativ?

For hvilke vinkler er cosinusverdien, og dermed også skalarproduktet, positiv?

Skalarproduktet har stor betydning i fysikkfaget. For eksempel er arbeid i fysikken definert som skalarproduktet mellom vektorene kraft og strekning.

Når to vektorer står normalt (vinkelrett) på hverandre, er vinkelen mellom vektorene $90°$. Siden $\cos 90°=0$ , vil skalarproduktet også bli lik 0.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}& = & \left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\cos 90°\\ & & \\ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}& =& \left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·0\\ & & \\ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}& =& 0\end{array}$$

Motsatt må det også være slik at hvis skalarproduktet er lik 0 og begge vektorene er forskjellig fra nullvektor, må cosinus til vinkelen mellom dem være 0, og vinkelen må være $90°$.

To vektorer som står normalt på hverandre, kalles ortogonale vektorer. Det matematiske symbolet er $\perp$.

Vi kan da oppsummere dette slik:

Slik skalarproduktet mellom to vektorer er definert, får vi regneregler for vektorer som til forveksling er lik regnereglene for skalare størrelser. Det kan vises at følgende regneregler gjelder for skalarproduktet:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}\\ \\ \overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}\\ \\ \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)·\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\right)=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}·\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}·\overrightarrow{d}\\ \\ \left(s\overrightarrow{a}\right)·\left(t\overrightarrow{b}\right)=\left(s·t\right)\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}\right)\end{array} \\ \end{gathered}$$

Dermed får vi

$$ \begin{array}{l}{\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2\\ \\ {\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2\\ \\ \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)·\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2\end{array}$$

Vi har sett at skalarproduktet eller prikkproduktet mellom to vektorer er definert som

$$ $ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\cos \alpha $$$

Når en vektor prikkes med seg selv, får vi en spesiell situasjon. Vinkelen $\alpha$ er da $0°.$ Som du fant ut lenger oppe, er $$ \cos 0°=1$$. Vi får derfor

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}& = & \left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{a}\right|·\cos 0° \\ & & \\ {\overrightarrow{a}}^2& =& {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2·1 \\ & & \\ {\overrightarrow{a}}^2& =& {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2 \end{array}$$

Legg merke til skrivemåten $$ {\overrightarrow{a}}^2$$ for $$ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}$$.

Ut fra det vi nå vet om at skalarproduktet er et tall og ikke en vektor, kan vi se at en vektor opphøyd i 2 ikke er en vektor, men en skalar. Dette kan vi bruke til å finne lengden av en vektor, slik:

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^2}$$

Om to vektorer $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ får du vite følgende:

$$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{a}\right| & =& 5\\ \left|\overrightarrow{b}\right| & =& 2\\ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b }& =& 8\end{array}$$

To andre vektorer er gitt som $$ \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$.

Vi kan finne prikkproduktet mellom $$ \overrightarrow{u}$$ og $$ \overrightarrow{v}$$:

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v} & =& \left(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)·\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\\ & =& 2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}·\left(-\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}·\overrightarrow{b}\\ & =& 2{\overrightarrow{a}}^2-\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^2\end{array}$$

Nå setter vi inn opplysningene vi fikk om $$ \begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{a}\end{array}$$ og $$ \begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{b}\end{array}$$ og husker at $$ {\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{a}\end{array}}^2={\left|\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{a}\end{array}\right|}^2$$.Da får vi

$$ 2{\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{a}\end{array}}^2+\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{a}\end{array}·\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{b}\end{array}-{\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{b}\end{array}}^2=2·5^2-8-2^2=50-8-4=38$$