4.1.20
I denne oppgaven skal du finne noen cosinusverdier du kommer til å trenge når du skal regne med skalarproduktet. Legg deg disse verdiene på minnet for resten av R1-kurset!
Vi har en trekant med vinkler på 30º, 60º og 90º, hvor lengden til den korteste kateten er 1.
a) Finn den eksakte lengden til de andre sidene i trekanten.
Løsning
I en «30, 60, 90»-trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten. I denne trekanten blir lengden 2. Den andre kateten finner vi ved hjelp av Pytagoras-setningen:
b) Bestem de eksakte verdiene til cos 30º og cos 60º.
Løsning
cos30°=hosliggende katethypotenus=32cos60°=hosliggende katethypotenus=12
Vi har en likebeint, rettvinklet trekant der lengden til katetene er 1.
c) Finn den eksakte lengden til hypotenusen.
Løsning
Vi bruker Pytagoras-setningen:
h=12+12=2
d) Bestem cos 45º.
Løsning
cos45°=hosliggende katethypotenus=12=122
Om to vektorer, p→ og q→, får du vite at p→=7, q→=3 og ∠p→,q→=30o
a) Regn ut p→ ·q→ og q→·p→.
Løsning
p→·q→ = p→·q→·cos∠p→,q→=7·3·cos30°= 21·32=21·32q→·p→ = q→·p→·cos∠q→,p→= 3·7·cos30°= 21·32=21·32
b) Finn p→2
Løsning
p→2 = p→·p→= p→·p→·cos∠p→,p→= 7·7·cos0°= 49·1= 49
c) Finn q→2
Løsning
q→2 = q→·q→= q→·q→·cos∠q→,q→= 3·3·cos0°= 9·1= 9
4.1.22
Vi har vektorene a→ og b→ der a→=12, ∠a→,b→=60o og a→·b→=24.
Finn lengden til b→
Løsning
a→·b→ = a→·b→·cos∠a→,b→24 = 12·b→·cos60°b→ = 2412·cos60°= 246=4
4.1.23
Vi har gitt at u→2=16
Finn u→
Løsning
16 = u→·u→·cos0°u→2 = 16cos0°= 16u→ = 16=4
4.1.24
Vi har vektorene a→ og b→ der a→=12 og b→=5. Skalarproduktet mellom a→ og b→ er 30 . Finn vinkelen mellom a→ og b→
Løsning
30 = 12·5·cos∠a→,b→cos∠a→,b→ = 3060=12∠a→,b→ = 60°
4.1.25
Vi har vektorene a→ og b→ der a→ = 3 og b→=8.
Finn skalarproduktet mellom a→ ogb→ når
a) ∠a→,b→=0o
b) ∠a→,b→=30o
c) ∠a→,b→=45o
d) ∠a→,b→=60o
e) ∠a→,b→=90o
f) ∠a→,b→=120o
g) ∠a→,b→=135o
h) ∠a→,b→=150o
i) ∠a→,b→=180o
Kan du se noe mønster i svarene på denne oppgaven?
Løsning
a) a→·b→=3·8·cos0°=3·8·1=24b) a→·b→=3·8·cos30°=3·8·32=123c) a→·b→=3·8·cos45°=3·8·12·2=122d) a→·b→=3·8·cos60°=3·8·12=12e) a→·b→=3·8·cos90°=3·8·0=0f) a→·b→=3·8·cos120°=3·8·-cos60o=3·8·-12=-12g) a→·b→=3·8·cos135°=3·8·-cos45o=3·8·-122=-122h) a→·b→=3·8·cos150°=3·8·-cos30o=3·8·-32=-123i) a→·b→=3·8·cos180°=3·8·-1=-24
Vi kan se at skalarproduktet er størst når vinkelen er 0º grader og minst når vinkelen er 180º. Vi legger merke til at skalarproduktet er 0 når vinkelen er 90º, og at skalarproduktet er positivt for spisse vinkler og negativt for stumpe vinkler.
4.1.26
Vi har vektorene a→ og b→ der a→=5, b→ = 4 og ∠a→,b→=60o
Regn ut a→·a→+2b→+2a→·3b→
Løsning
Vi har at
a→·b→=5·4·cos60°=10
og
a→2=5·5·cos0°=25
Dermed får vi at:
a→·a→+2b→+2a→·3b→ = a→2+2a→·b→+6a→·b→= a→2+8a→·b→ = 25+8·10= 105
4.1.27
Vi har vektorene a→ og b→ der a→=3, b→ = 4 og ∠a→,b→=60o
Vektorene u→ og v→ er gitt ved u→= a→+2b→ og v→=3a→-4b→.
a) Finn a→·b→ , a→2og b→2
Løsning
a→·b→=3·4·cos60°=3·4·12=6a→2=a→·a→·cos∠a→,a→=3·3·cos0°=3·3·1=9b→2=b→·b→·cos∠b→,b→=4·4·cos0°=4·4·1=16
b) Finn u→ og v→
Løsning
u→ = a→+2b→2= a→2+4a→b→+4b→2= 9+4·6+4·16= 97v→ = 3a→-4b→2= 9a→2-24a→b→+16b→2= 9·9-24·6+16·16= 193
c) Finn u→·v→
Løsning
u→·v→=a→+2b→·3a→-4b→= 3a→2-4a→·b→+6a→·b→-8b→2= 3a→2+2a→·b→-8b→2= 3·9+2·6-8·16= -89
d) Finn vinkelen mellom u→ og v→
Løsning
Vi bruker opplysningene fra b og c:
cos∠u→,v→=u→·v→u→·v→=-8997·193∠u→,v→=130,6°
4.1.28
La a→=5, b→=3, ∠a→,b→=60o
Vi har vektorene u→=a→+b→ og v→=a→-b→
a) Finn lengden til vektorene u→ og v→
Løsning
u→ = u→2u→2 = a→+b→·a→+b→= a→2+2a→b→+b→2= 52+2·5·3·cos60°+32= 49u→=49=7v→ = v→2v→2 = a→-b→·a→-b→= a→2-2a→b→+a→2= 52-2·5·3·cos60°+32= 19v→=19
b) Finn vinkelen mellom u→ og v→
Løsning
u→·v→ = u→·v→·cos∠u→,v→cos∠u→,v→ = u→·v→u→·v→= a→+b→·a-b7·19 = a→2-b→27·19= 25-97·19∠u→,v→ = 58,4°