Hopp til innhold
Oppgave

Skalarproduktet

Her får du jobbe med oppgaver om skalarproduktet mellom vektorer på pilform.

4.1.20

I denne oppgaven skal du finne noen cosinusverdier du kommer til å trenge når du skal regne med skalarproduktet. Legg deg disse verdiene på minnet for resten av R1-kurset!

Vi har en trekant med vinkler på 30º, 60º og 90º, hvor lengden til den korteste kateten er 1.

a) Finn den eksakte lengden til de andre sidene i trekanten.

Løsning

I en «30, 60, 90»-trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten. I denne trekanten blir lengden 2. Den andre kateten finner vi ved hjelp av Pytagoras-setningen:

22-12=3

b) Bestem de eksakte verdiene til cos 30º og cos 60º.

Løsning

cos30°=hosliggendekatethypotenus=32cos60°=hosliggendekatethypotenus=12

Vi har en likebeint, rettvinklet trekant der lengden til katetene er 1.

c) Finn den eksakte lengden til hypotenusen.

Løsning

Vi bruker Pytagoras-setningen:

h=12+12=2

d) Bestem cos 45º.

Løsning

cos45°=hosliggendekatethypotenus=12=122

4.1.21

Om to vektorer, p og q, får du vite at p=7, q=3 og p,q=30o

a) Regn ut p ·q og q·p.

Løsning

p·q = p·q·cosp,q=7·3·cos30°= 21·32=21·32q·p = q·p·cosq,p= 3·7·cos30°= 21·32=21·32

b) Finn p2

Løsning

p2 = p·p= p·p·cosp,p= 7·7·cos0°= 49·1= 49

c) Finn q2

Løsning

q2 = q·q= q·q·cosq,q= 3·3·cos0°= 9·1= 9

4.1.22

Vi har vektorene a og b der a=12, a,b=60o og a·b=24.

Finn lengden til b

Løsning

a·b = a·b·cosa,b24 = 12·b·cos60°b = 2412·cos60°= 246=4

4.1.23

Vi har gitt at u2=16
Finn u

Løsning

16 = u·u·cos0°u2 = 16cos0°= 16u = 16=4

4.1.24

Vi har vektorene a og b der a=12 og b=5. Skalarproduktet mellom a og b er 30 . Finn vinkelen mellom a og b

Løsning

30 = 12·5·cosa,bcosa,b = 3060=12a,b = 60°

4.1.25

Vi har vektorene a og b der a = 3 og b=8.

Finn skalarproduktet mellom a ogb når

a) a,b=0o

b) a,b=30o

c) a,b=45o

d) a,b=60o

e) a,b=90o

f) a,b=120o

g) a,b=135o

h) a,b=150o

i) a,b=180o

Kan du se noe mønster i svarene på denne oppgaven?

Løsning

a)a·b=3·8·cos0°=3·8·1=24b)a·b=3·8·cos30°=3·8·32=123c)a·b=3·8·cos45°=3·8·12·2=122d)a·b=3·8·cos60°=3·8·12=12e)a·b=3·8·cos90°=3·8·0=0f)a·b=3·8·cos120°=3·8·-cos60o=3·8·-12=-12g)a·b=3·8·cos135°=3·8·-cos45o=3·8·-122=-122h)a·b=3·8·cos150°=3·8·-cos30o=3·8·-32=-123i)a·b=3·8·cos180°=3·8·-1=-24

Vi kan se at skalarproduktet er størst når vinkelen er 0º grader og minst når vinkelen er 180º. Vi legger merke til at skalarproduktet er 0 når vinkelen er 90º, og at skalarproduktet er positivt for spisse vinkler og negativt for stumpe vinkler.

4.1.26


Vi har vektorene a og b der a=5, b = 4 og a,b=60o

Regn ut a·a+2b+2a·3b

Løsning

Vi har at

a·b=5·4·cos60°=10

og

a2=5·5·cos0°=25

Dermed får vi at:

a·a+2b+2a·3b = a2+2a·b+6a·b= a2+8a·b = 25+8·10= 105

4.1.27

Vi har vektorene a og b der a=3, b = 4 og a,b=60o

Vektorene u og v er gitt ved u= a+2b og v=3a-4b.

a) Finn a·b,a2ogb2

Løsning

a·b=3·4·cos60°=3·4·12=6a2=a·a·cosa,a=3·3·cos0°=3·3·1=9b2=b·b·cosb,b=4·4·cos0°=4·4·1=16

b) Finn u og v

Løsning

u = a+2b2= a2+4ab+4b2= 9+4·6+4·16= 97v = 3a-4b2= 9a2-24ab+16b2= 9·9-24·6+16·16= 193

c) Finn u·v

Løsning

u·v=a+2b·3a-4b= 3a2-4a·b+6a·b-8b2= 3a2+2a·b-8b2= 3·9+2·6-8·16= -89

d) Finn vinkelen mellom u og v

Løsning

Vi bruker opplysningene fra b og c:

cosu,v=u·vu·v=-8997·193u,v=130,6°

4.1.28

La a=5, b=3, a,b=60o

Vi har vektorene u=a+b og v=a-b

a) Finn lengden til vektorene u og v

Løsning

u = u2u2 = a+b·a+b= a2+2ab+b2= 52+2·5·3·cos60°+32= 49u=49=7v = v2v2 = a-b·a-b= a2-2ab+a2= 52-2·5·3·cos60°+32= 19v=19

b) Finn vinkelen mellom u og v

Løsning

u·v = u·v·cosu,vcosu,v = u·vu·v= a+b·a-b7·19 = a2-b27·19= 25-97·19u,v = 58,4°

CC BY-SA 4.0Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist faglig oppdatert 28.01.2022