Sinus, cosinus og tangens til vinkler større enn 90°
Vi starter med en vinkel som er mindre enn , slik som på figuren over. Vi oppretter så motstående katet, slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1. Vi kaller katetene for og .
Vi får
Vi legger et koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen, slik at vinkelens høyre bein blir liggende langs -aksen. Vi legger videre en sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kaller sirkelen for enhetssirkelen.
Vi kaller skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og venstre vinkelbein til 𝑣 for P.
Vi kaller videre koordinatene til punktet for .
Vi får da at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P, og at sinus til 𝑣 blir lik andrekoordinaten til P, .
Det betyr at .
Vi får også at .
Ettersom avstanden fra origo til er lik 1, har vi også på grunn av Pytagoras' setning at kvadratet av pluss kvadratet av er lik 1.
Vi kan nå definere sinus, cosinus og tangens til en generell vinkel .
Plasser vinkel i et koordinatsystem sammen med enhetssirkelen. Se figuren.
La være skjæringspunktet mellom vinkelens venstre vinkelbein og enhetssirkelen.
Vi får
= førstekoordinaten til P
= andrekoordinaten til P
Vi får også at
Vi har nå en definisjon som også gjelder for vinkler som er større enn 90°.
Dra i glidebryteren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor. Observer hva som skjer.
Filer
Bruk den interaktive enhetssirkelen når du svarer på spørsmålene.
Oppgave 1
Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdier?
Oppgave 2
Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos 120°.
Oppgave 3
Kan du finne to vinkler som har sinusverdi lik 0,5?