I oppgavene nedenfor kan du bruke alle hjelpemidler dersom det ikke står noe annet.
2.7.46
Gitt en trekant med sider og slik som på figuren nedenfor.
a) Regn ut når og .
vis fasit
Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel A og løser i GeoGebra.
Vi ser bort fra den negative løsningen.
Siden .
b) Regn ut når og .
vis fasit
Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B og løser i GeoGebra.
Siden .
c) Regn ut når og .
vis fasit
Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel C og løser i GeoGebra.
Siden .
2.7.47
Gitt en trekant , se figuren nedenfor.
Regn ut vinklene i trekanten.
vis fasit
Vi setter opp likninger med utgangspunkt i cosinussetningen for vinkel og for vinkel og løser i GeoGebra.
Vinkel A:
Vinkel B:
Vinkel C:
Her har vi i linje 3 brukt kommandoen "HøyreSide()" for å referere til svarene i linje 1 og 2 i stedet for å skrive inn svarene for vinklene A og B direkte.
2.7.48
Vi skal grave en kanal fra Båly, , til Lehnesfjorden, . Vi står på en høyde, , slik at vi kan se både og , og gjør målinger som vist på figuren nedenfor.
Finn lengden av kanalen.
vis fasit
Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel H og løser i GeoGebra.
Vi ser bort fra den negative løsningen.
2.7.49
Gitt en trekant med sider og der er motstående side til hjørnet A, og så videre. Se figuren nedenfor.
a) Regn ut når og .
vis fasit
Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B og løser i GeoGebra.
Vi ser bort fra den negative løsningen.
b) Regn ut når og .
vis fasit
Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel C og løser i GeoGebra.
Vi ser bort fra den negative løsningen.
c) Regn ut når og .
vis fasit
Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel A og løser i GeoGebra.
Her kan begge løsningene brukes.
Lengden i den ene løsningstrekanten og i den andre trekanten.
2.7.50
I hver av oppgavene nedenfor skal du tegne hjelpefigur og finne lengden av hvis det er mulig.
a) Gitt trekanten der
og .
vis fasit
Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B og løser i GeoGebra.
Vi får to sammenfallende løsninger. Det må bety at siden AC akkurat rekker opp til det høyre vinkelbeinet til vinkel B, dvs. det vinkelbeinet som skal være siden BC. Det må videre bety at . Dette stemmer også med at hypotenusen er det dobbelte av den minste kateten i en 30-, 60- og 90-graders trekant.
b) Gitt trekanten der
og .
vis fasit
Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B (som i oppgave a)) og løser i GeoGebra.
Vi får to løsninger og dermed to mulige trekanter der punktet C kan ligge to steder. Dersom vi kaller det ene punktet for C₁ og det andre for C₂, får vi
c) Gitt trekanten der
og .
vis fasit
Dette blir igjen samme oppsett som i a) og b) der vi løser med GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen for vinkel B.
Vi finner ingen mulige løsninger.
Hvis vi sammenlikner med oppgave a), ser vi at den minste avstanden fra A til C er 4 cm. Vi kan si at ikke rekker bort til .
Gitt trekanten der og .
d) For hvilke verdier av b er det to, én eller ingen trekanter som innfrir kravene i teksten ovenfor?
vis fasit
Alternativ 1. Løsning med GeoGebra
Vi tar utgangspunkt i samme cosinussetning som før, men setter AC = b og løser med GeoGebra.
Siden vi har en likning med to ukjente (både BC og b), må vi bruke kommandoen "Løs(<likning>, <variabel>)" i stedet for bare å trykke direkte på knappen for numerisk løsning av likning. Etterpå trykker vi på knappen for tilnærma utregning og får svaret fra linje 1 med tilnærma verdier.
Vi får at når rottegnet er null, dvs. at , blir det bare én løsning. Dette er den samme løsningen som i oppgave a), og vi kjenner igjen tallet 6,93.
Vi får videre at når , blir det negativt under rottegnet, og da er det ingen løsning. Dette stemmer overens med hva vi fant i oppgave c).
Dersom , har likningen alltid to løsninger. Men vi kan ikke ha negative løsninger, og løsninger som er null gir ingen trekant. Den andre løsningen i linje 2 er alltid positiv. Den første løsningen blir negativ når b blir stor nok. Fra den første løsningen setter vi opp en ulikhet som vi løser med GeoGebra.
Vi får altså to løsninger når b er mindre enn 8. Det er fordi at hvis b, som er siden AC, er større enn 8, blir den større enn siden AB. Vi får en trekant da også, men da er ikke vinkel B lik 30 grader lenger. (Hvorfor ikke?) Når b er akkurat lik 8, gir den første løsningen og dermed ingen trekant.
Oppsummert:
Vi får to trekanter når .
Vi får én trekant når .
Alternativ 2. Løsning uten GeoGebra.
Vi finner lengden til når står vinkelrett på .
Vinkel er da , og vi får (trenger ikke GeoGebra her dersom vi husker at ).
Dette fant vi i oppgave a).
Dersom lengden er kortere enn , vil vi ikke ha noen løsninger. Dette så vi i oppgave c) der ikke rekker opp til linja .
Dersom vi skal ha to løsninger, må lengden være større enn og mindre enn lengden til , dvs. . Et eksempel på dette var oppgave b) ovenfor.
Vi får én løsning når lengden er større enn eller lik og når lengden akkurat er dvs. at står vinkelrett på .
Oppsummert:
Vi får to trekanter når .
Vi får én trekant når .
2.7.51 (uten hjelpemidler)
I en trekant er lengden på sidene 4, 5 og 5. Bestem cosinusverdien til vinklene i trekanten.
vis fasit
Vi ser at trekanten er likebent. Da vet vi at to av vinklene er like. Vi kaller de to like vinklene og den tredje vinkelen . Så bruker vi cosinussetningen til å bestemme cosinus til vinklene.
Den tredje vinkelen er mellomliggende vinkel til de to like sidene. Vi får
2.7.52 (uten hjelpemidler)
I trekanten ABC er og .
a) Tegn en hjelpefigur og bestem .
vis fasit
Vi bruker cosinussetningen til å bestemme .
b) Bestem og .
vis fasit
Vi bruker cosinussetningen til å bestemme .
Vi bruker også cosinussetningen til å bestemme .
c) Hva kan du si om størrelsen på vinklene i trekanten?
vis fasit
Siden , vet vi at . De to andre vinklene er mindre enn .
2.7.53 Utfordring
I denne oppgaven får du bruk for at .
I trekanten er .
a) Tegn en hjelpefigur og bestem .
vis fasit
Vi bruker sinussetningen og får
b) Forklar at det er to trekanter som tilfredsstiller kravene.
vis fasit
Vi får en vinkel i intervallet og en vinkel i intervallet , se figuren.
I en av trekantene i b) er .
c) Bestem i denne trekanten.
vis fasit
Vi bruker cosinussetningen:
d) Hva forteller svaret i b) om størrelsen på ?
vis fasit
Siden cosinusverdien er negativ, vet vi at vinkelen er større enn .