Hopp til innhold
Oppgave

Sinussetningen

Oppgavene nedenfor kan løses med alle hjelpemidler dersom det ikke står noe annet. Husk at når du bruker sinussetningen til å regne ut en vinkel, får du to løsninger som begge må vurderes.

2.7.40

a) Figuren viser en trekant ABC med sider a, b og c.

Regn ut lengden av siden a når  b=3,0 cm,  A=39°  og  B=59°.

vis fasit

Vi bruker sinussetningen.

asinA=bsinB

Løser i GeoGebra.

asin(39°)=3.0sin(59°)1NLøs:  {a=2.2}

a=2,2 cm

b) Figuren viser trekanten ABC med sider a, b og c.

Regn ut lengden av siden b når

a=8,5 cm ,

A=110,5° ,

B=19,8°.

vis fasit

Vi bruker sinussetningen.

bsinB=asinA

Løser i GeoGebra.

bsin(19.8°)=8.5sin(110.5°)1NLøs:  {b=3.07}

b=3,1 cm

2.7.41

Vi skal legge en strømkabel SP langs gangveien på Sjøsanden. Figuren viser arbeidsområdet sett fra vannkanten V. Regn ut lengden SP når du får oppgitt at det er 235 meter mellom S og V.

vis fasit

Vi finner først vinkel V:  V=180°-21,5°+48°=110,5°

Så bruker vi sinussetningen.

SPsinV=SVsinP

Løser med GeoGebra.

SPsin(110.5°)=235sin(21.5°)1NLøs:  {SP=600.59}

SP=601 m

2.7.42

Anniken tar seg en liten båttur en varm sommerdag. Hun går ut fra Dyrstad og legger kursen mot Færøy. Så bøyer hun av mot Ryvingen, deretter drar hun rett hjem. Se figuren.

Finn hvor lang båttur Anniken hadde denne dagen.

vis fasit

Først finner vi vinkel D (Dyrstad). Da setter vi opp en likning med utgangspunkt i sinussetningen.

FRsinD=DRsinF

Løser i GeoGebra.

635sin(D°)=1150sin(85.0°)1NLøs:  {D=33.37}

Det betyr altså at

D=33,4°

Så må vi sjekke supplementvinkelen.

180°-33,4°=146,6°

Vinkel D kan ikke være 146,6 grader, for da blir vinkelsummen i trekanten over 180 grader. Vinkel D er derfor 33,4 grader.

Den siste vinkelen i trekanten blir da

180°-33,4°-85°=61,6°

Avstanden DF fra Dyrstad til Færøy finner vi også ved å bruke sinussetningen.

DFsinR=DRsinF

Løser i GeoGebra.

DFsin(61.6°)=1150sin(85.0°)1NLøs:  {DF=1015.46}

1 015 m+635 m+1 150 m=2 800 m

Det betyr at Annikens båttur var ca 2 800 m.

2.7.43

Du skal finne C i en trekant der  AB=8,0 cm, BC=6,0 cm og  A=30,0°.

a) Bruk figuren ovenfor og forklar at det er to trekanter som oppfyller kriteriene gitt i oppgaveteksten.

vis fasit

Tenk deg at du setter passeren i punkt B og slår en sirkel med radius 6,0 cm. Du vil da skjære venstre vinkelbein til vinkel A på to steder, nemlig i C1  og C2.

Du får da to løsningstrekanter ABC1  og ABC2.

b) Finn C1 og C2 i de to mulige trekantene.

vis fasit

Vi bruker sinussetningen.

ABsinC=BCsinA

Løser i GeoGebra:

8.0sin(C°)=6.0sin(30.0°)1NLøs:  C=41.81180-HøyreSide($1)2138.19

Her har vi brukt kommandoen "HøyreSide" for å referere til høyre side av likhetstegnet i svaret i linje 2 i stedet for å skrive inn tallsvaret 41,81 manuelt.

C1=41,8°  og  C2=138,2°

Vi ser av figuren at vi her kan bruke begge løsningene.

Gitt en trekant ABC der  AB=8,0 cm  og  A=30,0°.

c) Finn lengden av BC når BC står vinkelrett på venstre vinkelbein til A.

vis fasit

Vinkel C er da 90°, og vi kan bruke definisjonen av sinus som gjelder for rettvinkla trekanter. Vi får

sinA=BCAB

og vi løser med GeoGebra.

sin30°=BC8.01NLøs:  {BC=4}

BC=4,0 cm

(Vi kunne også brukt direkte at den minste kateten er halvparten av hypotenusen i en 30-, 60-, 90- graders trekant.)

Lengden av BC vil avgjøre hvor mange mulige trekanter vi kan få.

d) Finn hva lengden av BC må være dersom det ikke skal være mulig å danne en trekant.

vis fasit

Dersom lengden BC er kortere enn 4,0 cm vil vi ikke ha noen løsninger fordi BC da ikke rekker opp til venstre vinkelbein til vinkel A).

e) Finn hva lengden av BC må være dersom det skal være mulig å danne to trekanter.

vis fasit

Dersom vi skal ha to løsninger, må lengden BC være større enn 4,0 cm og mindre enn lengden til AB, dvs. 8,0 cm. Se figuren i oppgave c).

f) Finn hva lengden av BC må være dersom det bare skal være mulig å danne én trekant.

vis fasit

Vi får én løsning når lengden BC er lik eller større enn 8,0 cm og når lengden BC akkurat er 4,0 cm.

2.7.44 (uten hjelpemidler)

Bestem sida BC i trekanten på figuren når du får oppgitt at  sin30°=12  og  sin45°=22.

vis fasit

Vi bruker sinussetningen og får:

BCsin30° = ABsin45°BC12=522BC=5·1222=52=522

2.7.45 (uten hjelpemidler)

I trekanten ABC er  AC=2, BC=3  og  sinA=34.

a) Bestem sinB.

vis fasit

Vi bruker sinussetningen og får:

sinBb = sinAa=343sinB=34·23=12

I en rettvinklet trekant der de spisse vinklene er 30° og 60°, er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten.

b) Bruk dette til å bestemme vinkel B i trekanten i a).

vis fasit

I denne trekanten vil den motstående kateten til vinkelen på 30° være den minste kateten. Siden sinus til en av de spisse vinklene i en rettvinkla trekant er motstående katet delt på hypotenus, får vi at  sin30°=12.

Da må også vinkel B i oppgave a) være 30 grader siden den har samme sinusverdi.