Hopp til innhold
Oppgave

Likninger med rasjonale uttrykk

Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS.

1.8.20

a) Gitt likningen 2x-4=0.

1) Hvilke verdier av x må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

x=0 gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen.

vis fasit

x·2x-x·4 = x·0         2-4x=0           -2x=-2                 x=-2-4=12

Denne løsningen skal ikke forkastes.

b) Gitt likningen 3-2x=-1x.

1) Hvilke verdier av x må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

x=0 gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen.

vis fasit

x·3-x·2x = x·-1x         2x-2=-1               3x=1                 x=13

Denne løsningen skal ikke forkastes.

c) Gitt likningen 2x-1+1x-2=xx2-3x+2.

1) Hvilke verdier av x må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

Vi starter med å løse likningen

x2-3x+2 = 0x=-(-3)±(-3)2-4·1·22·1=3±9-82=3±12x1=3+12=2        x2=3-12=1

x2-3x+2 har altså nullpunktene x=1 og x=2. Disse løsningene gir 0 i nevneren på høyre side av likningen og kan ikke godtas som løsning av likningen. Den første brøken på venstre side av likningen er null når x=1, den andre er null når x=2.

Vi må forkaste løsningene x=1 og x=2.

2) Løs likningen.

vis fasit

Fra oppgaven over har vi at fellesnevneren til likningen er (x-1)(x-2).

                                    2x-1+1x-2 = xx-1x-22·x-1x-2x-1+1·x-1x-2x-2=x·x-1x-2x-1x-2                                  2x-2+x-1=x                                       2x-4+x-1=x                                             2x+x-x=4+1                                                         2x=5                                                           x=52

Denne løsningen skal ikke forkastes.

d) Gitt likningen 22x-2+1x-2=x-3x2-3x+2.

1) Hvilke verdier av x må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

Vi har fra oppgave c) at x2-3x+2 har nullpunktene x=1 og x=2. Disse løsningene gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen.

vis fasit

                                     22x-1+1x-2 = x-3x-1x-22·2x-1x-22x-1+1·2x-1x-2x-2=x-3·2x-1x-2x-1x-2                                     2x-2+2x-1=2x-3                                          2x-4+2x-2=2x-6                                           2  x+2x-2x=4+2-6                                                              2x=0x=0

Denne løsningen skal ikke forkastes.

e) Gitt likningen 32x-2-1x-2=x-3x2-3x+2.

1) Hvilke verdier av x må eventuelt forkastes som løsninger av likningen?

vis fasit

Vi har fra oppgave c) at x2-3x+2 har nullpunktene x=1 og x=2. Disse løsningene gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen.

2) Løs likningen. Sjekk løsningen med CAS i GeoGebra.

vis fasit

                                   32x-1-1x-2 = x-3x-1x-23·2x-1x-22x-1-1·2x-1x-2x-2=x-3·2x-1x-2x-1x-2                                   3x-2-2x-1=2x-3                                        3x-6-2x+2=2x-6                                            3x-2x-2x=6-2-6                                                           -x=-2                                                               x=2

Likningen har ingen løsning fordi en eller flere av brøkene ikke er definert for x=2.

Likningen har ingen løsning.

Løsning med CAS:

Merk hvordan GeoGebra markerer at likningen ikke har løsning. Vi har her prøvd både eksakt og tilnærma løsning.