Oppgave

Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden

Oppgavene nedenfor skal løses uten bruk av hjelpemidler hvis ikke annet er angitt. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS.

1.8.1

Faktoriser utrykkene ved hjelp av nullpunktmetoden.

a) $x^{2} - 3 x + 2$

vis fasit

Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi løser likningen ved å bruke abc-formelen.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 3 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \lor x_{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \end{array}$

Minner om tegnet " $\lor$ ", som betyr "eller".

Da er

$x^{2} - 3 x + 2 = 1 (x - 2) (x - 1) = (x - 2) (x - 1)$

b) $x^{2} - 3 x - 4$

vis fasit

Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi løser likningen ved å bruke abc-formelen.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 3 x - 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{3 + 5}{2} = 4 \lor x_{2} = \frac{3 - 5}{2} = - 1 \end{array}$

Da er

$x^{2} - 3 x - 4 = 1 (x - 4) (x - (- 1)) = (x - 4) (x + 1)$

c) $- x^{2} - 3 x + 4$

vis fasit

Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen.

$\begin{array}{rcl} - x^{2} - 3 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{3 \pm \sqrt{25}}{- 2} \\ x_{1} & = & \frac{3 + 5}{- 2} = - 4 \lor x_{2} = \frac{3 - 5}{- 2} = 1 \end{array}$

Da er

$- x^{2} - 3 x + 4 = - 1 (x - (- 4)) (x - 1) = - (x + 4) (x - 1)$

d) $- 3 x^{2} + 9 x - 6$

vis fasit

Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen.

$- 3 x^{2} + 9 x - 6 = 0$

Her er det lurt å dividere alle ledd med $- 3$ for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 3 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \\ x & = & \frac{3 + 1}{2} = 2 \lor x_{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \end{array}$

Da er

$- 3 x^{2} + 9 x - 6 = - 3 (x - 1) (x - 2)$

e) $- 4 a^{2} - 6 a + 4$

vis fasit

Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen.

$- 4 a^{2} - 6 a + 4 = 0$

Her er det lurt å dividere alle ledd med -2 for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 2 a^{2} + 3 a - 2 & = & 0 \\ a & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2} \\ a & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{4} \\ a_{1} & = & \frac{- 3 + 5}{4} = \frac{1}{2} \lor a_{2} = \frac{- 3 - 5}{4} = - 2 \end{array}$

Da er

$- 4 a^{2} - 6 a + 4 = - 4 (a - (- 2)) (a - \frac{1}{2}) = - 4 (a + 2) (a - \frac{1}{2})$

1.8.2

Faktoriser uttrykkene

a) $x^{2} - 6 x + 9$

vis fasit

Dette er et fullstendig kvadrat. Bruker andre kvadratsetning.

Dermed er

$x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3) (x - 3)$

b) $x^{2} - 16$

vis fasit

Vi finner løsningen ved å bruke konjugatsetningen.

$x^{2} - 16 = x^{2} - 4^{2} = (x + 4) (x - 4)$

c) $2 x^{2} - 18$

vis fasit

Vi finner løsningen ved å bruke konjugatsetningen.

$2 x^{2} - 18 = 2 (x^{2} - 9) = 2 (x + 3) (x - 3)$

d) $x^{2} - 4 x + 8$

vis fasit

Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen.

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2} \end{array}$

Likningen har ingen løsning.

Uttrykket kan ikke faktoriseres.

e) $x (x^{2} - 3 x + 2)$

vis fasit

Vi setter uttrykket i parentesen lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 3 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \\ x & = & \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \lor x_{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \end{array}$