Omdreiningslegemer er romfigurer som kan beskrives matematisk, og de framkommer ved rotasjon av en graf. Vi kan bruke integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer.
3.3.10
Vi har gitt fire funksjoner:
gx=x,x∈0,4
hx=x+1,x∈0,4
ix=4-x2,x∈-2,2
a) Tegn omdreiningslegemene som framkommer når grafen til funksjonene som er gitt nedenfor, dreies 360° om x-aksen.
b) Hva kalles romfigurene vi får i hvert av tilfellene?
Løsning
sylinder
kjegle
avkortet kjegle
kule
c) Beregn volumet av hvert av omdreiningslegemene ved hjelp av integralregning uten bruk av digitale hjelpemidler. Vi tenker at flatestykket som avgrenses av grafen til funksjonene og x-aksen, dreies 360° om x-aksen, og at det dannes et "massivt" (fylt) objekt.
a) Hva skjer med et omdreiningslegeme hvis du endrer på verdiene for u ?
Løsning
Verdien for u avgrenser det området av den angitte grafen som vi skal bruke i omdreiningen. Hvis verdiene for u endres, vil området av grafen som er med i omdreiningen, endres.
b) Hva skjer med omdreiningslegemet hvis du endrer på verdiene for t?
Løsning
Verdiene for t angir hvor stor omdreiningen skal være i radianer. En omdreining fra 0 til 2π vil tilsvare en omdreining på 360 grader. Hvis verdiene for t endres, vil omdreiningen kunne bli mer eller mindre enn 360 grader.
For eksempel vil en omdreining fra π2 til π være en omdreining på 90 grader, og vi vil få et omdreiningslegeme som er en fjerdedel av hva vi hadde fått ved en 360 graders omdreining.
3.3.12
fx=x, x∈0,4
a) Beregn volumet til omdreiningslegemet som framkommer ved rotasjon av grafen til f om x-aksen. Gjør beregningen uten hjelpemidler, og kontroller resultatet ved å gjøre samme beregning i CAS.
Løsning
Løsning uten hjelpemidler:
fx=x, x∈0,4
Vf=π∫04x2dx=π∫04xdx=π12x204=π12·42-12·02=8π
Løsning i CAS:
b) Tegn grafen til f i 2D-grafikkfeltet i GeoGebra og tegn deretter omdreiningslegemet som er beskrevet i a) i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra. Hva kalles en graf som denne? Tips: Tenk omvendte funksjoner. Finn også ut hva en slik romfigur kalles.
Løsning
Den omvendte funksjonen til fx=x er f-1x=x2. Siden grafen til denne andregradsfunksjonen er en parabel med loddrett symmetrilinje (y-aksen), vil grafen til f være halvparten av en parabel med vannrett symmetrilinje (x-aksen).
Denne typen romfigur kalles en rotasjonsparaboloide, det vil si den romfiguren vi får dersom vi roterer en parabel om si egen symmetrilinje. På grunn av symmetrien får vi den samme romfiguren om vi roterer en halvpart av parabelen om symmetrilinja.
En rotasjonsparaboloide er, som nevnt i løsningen over, den romfiguren vi får når vi dreier en parabel om si egen symmetrilinje.
Funksjonen gx=x2,x∈-2,2 beskriver en parabel som er symmetrisk om y-aksen.
c) Tegn grafen til g i 2D-grafikkfeltet i GeoGebra og tegn omdreiningslegemet som framkommer ved 360°-omdreining av den ene halvparten av grafen til g om y-aksen i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra, det vil si fra y=0 til y=4. Sammenlign med romfiguren du fikk i oppgave b).
Løsning
Vi bruker Overflate(g,2pi,xAkse) for å tegne omdreiningslegemet med y-aksen som omdreiningsakse.
Vi ser at vi får det samme omdreiningslegemet som vi fikk i oppgave b), men det har en annen plassering i det tredimensjonale koordinatsystemet.
Hvis vi skal beregne volum av et omdreiningslegeme som framkommer ved omdreining om y-aksen, bruker vi den samme framgangsmåten som når vi dreier om x-aksen. Forskjellen er at vi må bruke den omvendte funksjonen g-1(y) ved rotasjon om y-aksen i stedet for g(x), som ble brukt ved rotasjon om x-aksen.
d) Bestem den omvendte funksjonen g-1(y).
Løsning
gx=x2,x∈0,2
gx=x2y=x2x=y
g-1(y)=y,y∈0,4
e) Beregn volumet til omdreiningsfiguren i oppgave c). Sammenlign volumet med det som ble beregnet i oppgave a).
Løsning
Siden funksjonen vi bruker som utgangspunkt, g(x), har definisjonsmengden x∈0,2, har den verdimengden y∈0,4. Dette betyr at den omvendte funksjonen har definisjonsmengden y∈0,4 og skal ha verdimengden x∈0,2.
Vi må derfor bruke den positive delen av den omvendte funksjonen, det vil si g-1(y)=y.
Vi ser at vi får det samme volumet som vi fikk i oppgave a).
3.3.13
En ellipse er en "flattrykt" sirkel. Vi kan legge inn to akser i en ellipse, en loddrett og en vannrett, slik vist på figuren nedenfor. I en sirkel vil disse aksene være like lange som radius i sirkelen, men i en "flattrykt" sirkel vil den ene aksen være kortere enn den andre.
En ellipse kan beskrives matematisk ut fra følgende likning, der a og b tilsvarer "bredde og høyde":
x2a2+y2b2=1
a) Sett opp likningen for ellipsen som er vist på figuren over, og bruk denne til å tegne til å tegne ellipsen i 2D-grafikkfeltet i GeoGebra.
Løsning
x2a2+y2b2=1x232+y222=1
2D-grafikkfeltet i GeoGebra:
En ellipsoide er et resultat av en omdreining av en ellipse rundt en av de to symmetriaksene.
b) Hvordan kan vi omforme likningen over slik at vi får en funksjon f der grafen representerer den øvre halvdelen av ellipsen?
Løsning
x2a2+y2b2=1x232+y222=1y24=1-x29y2=41-x29
Siden vi skal ha en funksjon for den øvre halvdelen av ellipsen, velger vi den positive løsningen for y:
y=41-x29y=21-x29fx=21-x29
c) Tegn en ellipsoide i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra ut fra funksjonsuttrykket som du kom fram til i b).
Løsning
d) Beregn volumet av ellipsoiden ved hjelp av CAS.
Løsning
Hvis vi har definert funksjonen f i algebrafeltet i forbindelse med tegning av omdreiningslegemet, kan vi referere til funksjonen f uten definisjon i CAS. Hvis ikke dette er gjort, så må funksjonen f defineres først.
Volumet av ellipsoiden er 16π.
e) Formen på en ellipsoide bestemmes ut fra størrelsen på a og b i uttrykket. I figuren over er a>b. Eksperimenter i 2D- og 3D-grafikkfeltet i GeoGebra ved å endre størrelsen på a og b. Hvordan endres figurene hvis a<b? Hvilken figur får vi hvis a=b?
Løsning
Hvis a<b, får vi en ellipsoide som "står på høykant". Hvis a=b, får vi en kule.
3.3.14
I teoriartikkelen "Omdreiningslegemer" viste vi at vi kan lage et omdreiningslegeme med form som en smultring ved å dreie området mellom to grafer om x-aksen.
Vi brukte funksjonene fx=2+x2 og gx=4-x2, og vi gjorde en omdreining om x-aksen fra x=-1 til x=1.
a) Tegn omdreiningslegemet som framkommer ved 360°-omdreining av det angitte område om x-aksen i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra.
Løsning
For å beregne volum av et omdreiningslegeme som framkommer ved omdreining av et område mellom to grafer, beregner vi volum for omdreiningen av hver graf for seg. Så beregner vi volum for det endelige omdreiningslegemet som absoluttverdien av differansen mellom de to volumene.
b) Beregn volumet av "smultringen" som vi lagde i oppgave a) ved hjelp av CAS.
Løsning
Volumet for omdreiningslegemet er 16π.
3.3.15
Omdreining av periodiske funksjoner, som for eksempel sinusfunksjonen, kan gi omdreiningslegemer med "kjente" former.
a) Eksperimenter med sinusfunksjonen for å lage en omdreiningsfigur som er ligner vasen på bildet. Vasen er 18 cm høy. Diameter er målt på ulike steder på vasen: 8 cm i åpningen øverst, 6 cm på det smaleste (som er 12 cm opp fra bunnen), 12 cm på det bredeste (som er 7 cm opp fra bunnen) og 6,5 cm i bunnen.
Tips
Denne oppgaven kan løses på flere måter. Du må uansett bruke de oppgitte verdiene som utgangspunkt.
En mulighet er å gjennomføre en regresjon for å få en sinusfunksjon. Dersom grafen ikke er god nok sammenlignet med vasens form, kan du bruke det du har lært om den generelle sinusfunksjonen til å tilpasse grafen.
Vi velger å legge inn punktene (0, 3,25), (7, 6), (12, 3), (18, 4) i regnearket i GeoGebra og deretter gjøre en regresjon med sinus. Resultatet av dette blir følgende funksjon:
fx=4.34+2sin(0,68x-2.16)
For å få en graf som er enda bedre tilpasset til målene til vasen, prøver vi ut endringer på amplituden, faseforskyvningen og likevektslinja, til vi får et funksjonsuttrykk som stemmer ganske bra med de oppgitte målene til vasen:
fx=4.4+1.7sin(0,36x-0.5)
En omdreining av denne grafen om x-aksen gir følgende omdreiningslegeme:
b) Hvordan kan vi gjøre en tilnærmet beregning av hvor mye vann vasen vi lagde i oppgave a), inneholder når den blir fylt helt opp? Glasset i en slik vase måles til å være 0,2 cm tykt.
Løsning
Vi må beregne det innvendige volumet av vasen, noe som vi vil kunne beregne ut fra en funksjon g som ligger 0,2 lavere enn f, men som har samme form.
Indre volum beregnet i CAS:
Blomstervasen har et indre volum på 1067cm3, det vil si at den rommer cirka 1 liter vann.
GeoGebra gir mulighet til å laste ned et omdreiningslegeme som 3D-print (som fil av typen .stl). Dersom du har en 3D-printer tilgjengelig, kan du laste ned en slik fil og 3D-printe "sinusvasen" din eller andre omdreiningsfigurer.
3.3.16
Johannes Kepler (1571–1630) var en anerkjent tysk matematiker og astronom. Han arbeidet blant annet med hvilke omdreiningslegemer som oppstår ved rotasjon av ulike geometriske figurer. Noe av det han studerte, var hvordan rotasjon av deler av en sirkel kunne gi ulike romfigurer.
Lenge før Kepler ble født, hadde en annen kjent matematiker, Arkimedes (287 f.Kr–212 f.Kr), påpekt at vi vil få ei perfekt kule hvis vi roterer halvsirkelen APB i figuren til høyre om aksen AB.
Keplers bidrag til dette var å konstatere at en rotasjon av sirkelsegmentet CPD om aksen CD gir en romfigur som Kepler mente minnet om et eple, og at en rotasjon av sirkelsegmentet EPF rundt aksen EF gir en romfigur som minner om en sitron.
a) Bruk framgangsmåten som er beskrevet over for å tegne "Keplers sitron" i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra. Sirkelen som omdreiningslegemet skal ta utgangspunkt i, skal ha en diameter på 6 cm.
Tips
Bruk x-aksen som omdreiningsakse og ta utgangspunkt i en sirkel med AB som diameter. Denne sirkelen flyttes slik at linja EF ligger langs x-aksen. På figuren nedenfor er sentrum av en sirkel med diameter lik 6 flyttet fra 0,0 til 0,-1.
Løsning
Vi tar utgangspunkt i en halvsirkel med radius lik 3 og sentrum i origo. Denne halvsirkelen er grafen til en funksjon som er gitt ved fx=32-x2. Hvis sentrum av halvsirkelen skal være i 0,1, blir funksjonen fx=32-x2-1.
Vi bruker skjæringspunktene mellom sirkelbuen og x-aksen i instruksjonen for omdreining i GeoGebra. I figuren som er gitt i "Tips"-boksen, skjærer grafen x-aksen i x=-2,83 og i x=2,83. Vi skriver da følgende instruksjon i algebrafeltet:
b) Beregn volumet av "sitronen" i oppgave a) ved hjelp av CAS.
Løsning
c) Bruk samme sirkel som i oppgave a) til å tegne "Keplers eple" i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra.
Tips
Bruk også nå x-aksen som omdreiningsakse. Ta utgangspunkt i en sirkel med AB som diameter, og flytt sirkelen slik at linja CD ligger langs x-aksen. Beskriv tre deler av sirkelen som vist på figuren nedenfor.
For å få det riktige omdreiningslegemet må hver av disse elementene dreies om x-aksen.
Løsning
Vi tar utgangspunkt i en sirkel med radius lik 3 og sentrum i origo. Den øvre halvsirkelen er da gitt ved funksjonen fx=32-x2, mens den nedre halvsirkelen er gitt ved funksjonen gx=-32-x2. Hvis sentrum av halvsirkelen skal være i 0,2, blir funksjonene fx=32-x2+2 og gx=-32-x2+2.
Den øvre sirkelbuen skal i sin helhet brukes til omdreining. De to delene av den nedre sirkelbuen, AC og DB, må ha omdreining hver for seg, og vi bruker skjæringspunktene mellom den nedre sirkelbuen og x-aksen i instruksjonen for omdreining. I figuren som er gitt i "Tips"-boksen, skjærer sirkelbuen x-aksen i x=-2,24 og i x=2,24. Vi skriver da de følgende tre instruksjonene i algebrafeltet:
Kepler beskrev også et omdreiningslegeme som han kalte en "eplering". Denne romfiguren framkom ved å rotere sirkelsegmentet EPF om aksen CD.
d) Hva vil være den største visuelle forskjellen på dette omdreiningslegemet og de to forrige?
Løsning
Dette omdreiningslegemet vil ha et "hulrom" i midten, mens de to forrige var "hele" (massive).
e) Bruk den samme sirkelen som i oppgave a) som utgangspunkt for å tegne "Keplers eplering" i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra.
Tips
Bruk også nå x-aksen som omdreiningsakse. Ta utgangspunkt i en sirkel med AB som diameter, og flytt sirkelen slik at linja CD ligger langs x-aksen. Det vil da være sirkelbuen fra E til F som skal dreies om x-aksen.
Løsning
Vi tar som tidligere i oppgaven utgangspunkt i en halvsirkel med radius lik 3 og sentrum i origo som er gitt ved funksjonen fx=32-x2. Hvis sentrum av halvsirkelen skal være i 0,1, blir funksjonen fx=32-x2+1.
Vi bruker skjæringspunktene mellom sirkelbuen og x-aksen i instruksjonen for omdreining. I figuren som er gitt i "Tips"-boksen skjærer grafen x-aksen i x=-2,83 og i x=2,83. Vi skriver da følgende instruksjon i algebrafeltet: