Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Overflate av omdreiningslegemer

Vi kan bruke bestemte integraler til å finne overflaten av omdreiningslegemer.

Overflaten av et omdreiningslegeme

Vi kan tenke at en graf er sammensatt av mange små bueelementer med lengde s, slik vi illustrerte i fagartikkelen "Volum og buelengde". Fra denne siden har vi at s er gitt ved

s=1+f'(x)2·x

Når grafen til en funksjon, fx, roteres om x-aksen, vil det si at hvert enkelt bueelement roteres på samme måte og danner hvert sitt sirkelformede bånd med x-aksen som sentrum i sirkelen.

Omkretsen av en sirkel er generelt gitt ved O=2πr. Hvis vi lar s gå mot null, vil arealet av båndet ha en form som er tilnærmet lik et rektangel. Arealet av det sirkelformede båndet ved x=xi vil derfor være gitt ved

Axi=2π·rxi·s

Siden radius i en slik omdreiningssirkel er gitt ved rxi=fxi, kan vi sette opp sammenhengen

Axi=2π·rxi·s=2π·fxi·s

Vi setter inn uttrykket for s:

Axi=2π·fxi·s=2π·fxi·1+f'(x)2·x

Hvis vi summerer arealene av alle de sirkelformede båndene som omdreiningslegemet består av, vil vi finne overflaten av omdreiningslegemet.

Vi gjenkjenner prinsippet ved bestemt integrasjon. Vi kan sette opp følgende formel for overflaten av et omdreiningslegeme ved rotasjon om x-aksen av grafen til en funksjon f fra x=a til x=b:

O = ab2π·fx·1+f'(x)2dx= 2π·abfx·1+f'x2dx

Overflaten av ei kule

Vi kan kontrollere denne formelen ved å bruke den til å bestemme et uttrykk for overflaten av ei kule med radius lik r.

Dersom vi roterer grafen til en kvart sirkel 360°fra x=0 til x=r, får vi ei halvkule med radius r. Vi tar derfor igjen utgangspunkt i sirkellikningen x2+y2=r2 og finner funksjonsuttrykket for en kvart sirkel:

fx=r2-x2, x0,r

Det gir

yx=f'x=-xr2-x2

Overflaten av ei kule vil ut fra dette være gitt ved 2 ganger overflaten av ei halvkule:

Okule = 2·2πabfx1+f'(x)2dx= 4π0rr2-x2·1+-xr2-x22dx= 4π0rr2-x2·1+x2r2-x2dx= 4π0rr2-x2·r2-x2r2-x2+x2r2-x2dx= 4π0rr2-x2·r2r2-x2dx= 4π0rr2-x2·rr2-x2dx= 4π0rr dx= 4π·rx0r= 4πr2

Vi kommer fram til den kjente formelen for overflaten av ei kule.