Njuike sisdollui
Bargobihttá

Overflate av omdreiningslegemer

Omdreiningslegemer er romfigurer som kan beskrives matematisk, og de framkommer ved rotasjon av en graf. Vi kan bruke integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer, og her skal vi øve på å beregne overflater.

3.3.20

I oppgave 3.3.10 beregner vi volumet til fire omdreiningslegemer.

Du skal nå beregne overflatearealet til de samme omdreiningslegemene ved hjelp av integrasjon. Overflatene i de tre første deloppgavene skal du beregne uten digitale hjelpemidler, mens overflaten i oppgave d) skal du beregne ved hjelp av CAS.

a) fx=2, x0,4

Løsning

fx = 2, x0,4f'x = 0

O = 2π·abfx·1+f'x2dx= 2π·042·1+02dx= 2π·042 dx= 2π 2x04= 2π·2·4-2·0= 16π

Overflaten til omdreiningslegemet som har form som en sylinder, er 16π.

b) gx=x, x0,4

Løsning

gx = x, x0,4g'x = 1

O = 2π·abgx·1+g'x2dx= 2π·04x·1+12dx= 22π·04x dx= 22π 12x204= 22π·12·42-0= 162π

Overflaten til omdreiningslegemet som har form som ei kjegle, er 162π.

c) hx=x+1, x0,4

Løsning

hx = x+1, x0,4h'x = 1

O = 2π·abhx·1+h'x2dx= 2π·04x+1·1+12dx= 22π·04x+1 dx= 22π12x2+x04 = 22π12·42+4-0= 242π

Overflaten til omdreiningslegemet som har form som ei avkortet kjegle, er 242π.

d) ix=4-x2, x-2,2 (Dette skal beregnes ved hjelp av CAS.)

Løsning

Siden ix er en halvsirkel, blir omdreiningslegemet ei kule.

Overflaten av kula er 16π.

3.3.21

På teorisiden bruker vi integrasjon til å utlede formelen for overflaten av ei kule.

a) Bruk den samme metoden for å utlede formelen for overflaten til en sylinder med radius s og høyde h, uten bruk av digitale hjelpemidler.

Tips

En sylinder vil framkomme ved omdreining av et vannrett linjestykke om x-aksen. Lengden av linjestykket vil da tilsvare høyden til sylinderen, h, mens funksjonsuttrykket vil være en konstant som angir radius, r, i sylinderen.

Løsning

Et generelt funksjonsuttrykk for et linjestykke som gir en sylinder ved omdreining om x-aksen, vil være gitt ved

fx = r, x0,h

Osylinder = 2π·abfx·1+f'x2dx= 2π·0rh·1+02dx= 2π·0rh dx= 2π hx0r= 2π·h·r-h·0= 2πrh

b) Kontroller beregningen av overflaten til sylinderen i oppgave 3.3.20 a) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgave a), uten bruk av digitale hjelpemidler.

Løsning

Sylinderen i oppgave 3.3.20 a) har radius r=2 og høyde h=4:

Overflatesylinder = 2πrh =2π·2·4= 16π

Vi ser at vi får den samme overflaten i begge beregningene.

c) Utled formelen for overflaten av ei kjegle uten bunn på samme måte som for kule og sylinder. Bruk radius = r og høyde = h. Den generelle formelen for funksjonen som er utgangspunkt for omdreiningen, vil da være y=fx=rhx. Dette gir en rettlinjet graf som går gjennom origo, og for at omdreiningslegemet skal bli ei rett kjegle, må nedre grense være lik 0 og øvre grense være lik h.

Løsning

y=fx=rhx, som gir y'=f'x=rh.

Overflatekjegle = 2πabfx·1+f'x2dx= 2π0hrhx·1+rh2dx= 2π0hrhx·1+r2h2dx= 2π0hrhx·h2h2+r2h2dx= 2π0hrhx·1hh2+r2dx

I ei kjegle er sidekanten, s, hypotenusen i en trekant der høyden, h, er den ene kateten, og radius, r, er den andre kateten. Sidekanten, s, er derfor gitt ved s=h2+r2.

Overflatekjegle = 2π0hrhx·1hs dx= 2πrhs1h0hx dx= 2πsrh20hx dx= 2πsrh212x20h= 2πsrh2·12h2= πsr

d) Kontroller også beregningen av overflaten til kjegla i oppgave 3.3.20 b) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgave c), uten bruk av digitale hjelpemidler.

Løsning

Kjegla i oppgave 3.3.20 b) framkommer ved omdreining av gx = x, x0,4. Dette gir ei kjegle med radius = 4 og høyde = 4. Lengden av sidekanten blir da s=r2+h2=42+42=32=42.

Overflatekjegle= π·r·s=π·4·42= 16π2

Vi får den samme overflaten i begge beregningene.

3.3.22

Evangelista Torricelli (1608–1647) var en italiensk matematiker og fysiker. Innen fysikk er han kanskje mest kjent for å ha oppfunnet kvikksølvbarometeret, men han var også en av bidragsyterne til utviklingen av integralregningen.

I arbeidet med integralregningen oppdaget Torricelli noen helt spesielle egenskaper ved omdreiningslegemet som framkommer ved omdreining av grafen til funksjonen y=1x, x1 om x-aksen.

Torricelli viste at dette omdreiningslegemet, som i ettertid er blitt kalt både Torricellis trompet og Gabriels horn, har endelig volum og uendelig overflate.

a) Beregn det endelige volumet for et horn som framkommer ved omdreining av y=1x, x[1,, uten bruk av digitale hjelpemidler. Kontroller deretter utregningen ved å beregne det bestemte integralet i CAS.

Løsning

Volum = π11x2dx= π11x2dx= π·limt1t1x2dx= π·limt-1x1t= π·limt-1t--11= π0--1= π

Vi har vist at når integralets øvre grenseverdi går mot uendelig, vil volumet gå mot den endelige verdien π.

Beregning av volum ved hjelp av CAS:

b) Vis ved hjelp av CAS at det samme hornet har uendelig overflate.

Løsning

Overflate =ab2π·fx·1+f'(x)2dx= 2πab1x·1+-1x22dx= 2πab1x·1+1x4dx

Vi har vist at når integralets øvre grenseverdi går mot uendelig, vil overflatearealet også gå mot uendelig.

c) Undersøk volumet av et omdreiningslegeme som framkommer ved omdreining av y=1x, x[0,10.

Løsning

Volum = π0101x2dx= π0101x2dx= π·limt0t101x2dx= π·limt0-1xt10= π·limt0-110--1t= π·limt01t-110= 

Vi ser at volumet av omdreiningslegemet går mot uendelig. Årsaken er at grafen til y=1x går mot uendelig når x går mot 0.