Omdreiningslegemer er romfigurer som kan beskrives matematisk, og de framkommer ved rotasjon av en graf. Vi kan bruke integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer, og her skal vi øve på å beregne overflater.
3.3.20
I oppgave 3.3.10 beregner vi volumet til fire omdreiningslegemer.
Du skal nå beregne overflatearealet til de samme omdreiningslegemene ved hjelp av integrasjon. Overflatene i de tre første deloppgavene skal du beregne uten digitale hjelpemidler, mens overflaten i oppgave d) skal du beregne ved hjelp av CAS.
Overflaten til omdreiningslegemet som har form som ei avkortet kjegle, er 242π.
d) ix=4-x2,x∈-2,2 (Dette skal beregnes ved hjelp av CAS.)
Løsning
Siden ix er en halvsirkel, blir omdreiningslegemet ei kule.
Overflaten av kula er 16π.
3.3.21
På teorisiden bruker vi integrasjon til å utlede formelen for overflaten av ei kule.
a) Bruk den samme metoden for å utlede formelen for overflaten til en sylinder med radius s og høyde h, uten bruk av digitale hjelpemidler.
Tips
En sylinder vil framkomme ved omdreining av et vannrett linjestykke om x-aksen. Lengden av linjestykket vil da tilsvare høyden til sylinderen, h, mens funksjonsuttrykket vil være en konstant som angir radius, r, i sylinderen.
Løsning
Et generelt funksjonsuttrykk for et linjestykke som gir en sylinder ved omdreining om x-aksen, vil være gitt ved
b) Kontroller beregningen av overflaten til sylinderen i oppgave 3.3.20 a) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgave a), uten bruk av digitale hjelpemidler.
Løsning
Sylinderen i oppgave 3.3.20 a) har radius r=2 og høyde h=4:
Overflatesylinder=2πrh=2π·2·4=16π
Vi ser at vi får den samme overflaten i begge beregningene.
c) Utled formelen for overflaten av ei kjegle uten bunn på samme måte som for kule og sylinder. Bruk radius = r og høyde = h. Den generelle formelen for funksjonen som er utgangspunkt for omdreiningen, vil da være y=fx=rhx. Dette gir en rettlinjet graf som går gjennom origo, og for at omdreiningslegemet skal bli ei rett kjegle, må nedre grense være lik 0 og øvre grense være lik h.
I ei kjegle er sidekanten, s, hypotenusen i en trekant der høyden, h, er den ene kateten, og radius, r, er den andre kateten. Sidekanten, s, er derfor gitt ved s=h2+r2.
d) Kontroller også beregningen av overflaten til kjegla i oppgave 3.3.20 b) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgave c), uten bruk av digitale hjelpemidler.
Løsning
Kjegla i oppgave 3.3.20 b) framkommer ved omdreining av gx=x,x∈0,4. Dette gir ei kjegle med radius = 4 og høyde = 4. Lengden av sidekanten blir da s=r2+h2=42+42=32=42.
Overflatekjegle=π·r·s=π·4·42=16π2
Vi får den samme overflaten i begge beregningene.
3.3.22
Evangelista Torricelli (1608–1647) var en italiensk matematiker og fysiker. Innen fysikk er han kanskje mest kjent for å ha oppfunnet kvikksølvbarometeret, men han var også en av bidragsyterne til utviklingen av integralregningen.
I arbeidet med integralregningen oppdaget Torricelli noen helt spesielle egenskaper ved omdreiningslegemet som framkommer ved omdreining av grafen til funksjonen y=1x,x≥1 om x-aksen.
Torricelli viste at dette omdreiningslegemet, som i ettertid er blitt kalt både Torricellis trompet og Gabriels horn, har endelig volum og uendelig overflate.
a) Beregn det endelige volumet for et horn som framkommer ved omdreining av y=1x,x∈[1,∞〉, uten bruk av digitale hjelpemidler. Kontroller deretter utregningen ved å beregne det bestemte integralet i CAS.