Definisjonen av den deriverte

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{4(x+∆x)-4x}{∆x}\\ & = & \frac{\cancel{4x}+4∆x-\cancel{4x}}{∆x}\\ & =& \frac{4\cancel{∆x}}{\cancel{∆x}}=4\end{array}\end{array} \\ \end{gathered}$$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=4$

$\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{2(x+∆x{)}^2-2x^2}{∆x}\\ & =& \frac{\cancel{2x^2}+4x∆x+2(∆x{)}^2-\cancel{2x^2}}{∆x}\\ & =& \frac{∆x(4x+2∆x)}{∆x}\\ & =& \frac{\cancel{∆x}(4x+2∆x)}{\cancel{∆x}}\\ & =& 4x+2∆x \end{array}$

Nå kan vi la $∆x$ gå mot 0, og vi får

$f^{\text{'}}\left(x\right)=4x$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{x+∆x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1·x}{(x+∆x)·x}}-{\displaystyle \frac{1·(x+∆x)}{x·(x+∆x)}}}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{x}{(x+∆x)x}}-{\displaystyle \frac{(x+∆x)}{x(x+∆x)}}}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{x-x-∆x}{(x+∆x)x}}}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{-∆x}{(x+∆x)x}}}{∆x}\\ & =& \frac{-∆x}{(x+∆x)x}·\frac{1}{∆x}\\ & =& \frac{-\cancel{∆x}}{(x+∆x)x·\cancel{∆x}}\\ & =& \frac{-1}{x^2+x∆x}\end{array}$$

Nå kan vi la $$ ∆x$$ gå mot 0, og vi får

$f^{\text{'}}\left(x\right) =-\frac{1}{x^2}$

$$ $$$$ \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x}& =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{7(x+∆x{)}^2+5(x+∆x)-(7x^2+5x)}{∆x}\\ & =& \frac{7(x^2+2x∆x+(∆x{)}^2)+5(x+∆x)-7x^2-5x}{∆x}\\ & =& \frac{\cancel{7x^2}+14x∆x+7(∆x{)}^2+\cancel{5x}+5∆x-\cancel{7x^2}-\cancel{5x}}{∆x}\\ & =& \frac{∆x(14x+7∆x+5)}{∆x}\\ & =& \frac{\cancel{∆x}(14x+7∆x+5)}{\cancel{∆x}}\\ & =& 14x+7∆x+5\end{array}$$

Nå kan vi la $$ ∆x$$ gå mot 0, og vi får

$f^{\text{'}}\left(x\right) = 14x+5$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x}& =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{2(x+∆x{)}^3-5(x+∆x{)}^2+3(x+∆x)-(2x^3-5x^2+3x)}{∆x}\\ & =& (\frac{2\left(x^2+2x∆x+{\left(∆x\right)}^2\right)·(x+∆x)}{∆x}\\ & & +\frac{-5\left(x^2+2x∆x+{\left(∆x\right)}^2\right)+3x+3∆x-\left(2x^3-5x^2+3x\right)}{∆x})\\ & =& (\frac{2(x^3+2x^2∆x+x(∆x{)}^2+x^2∆x+2x(∆x{)}^2+(∆x{)}^3)}{∆x}\\ & & +\frac{-\left(5x^2+10x∆x+5(∆x{)}^2\right)+3x+3∆x-(2x^3-5x^2+3x)}{∆x})\\ & =& (\frac{\cancel{2x^3}+4x^2∆x+2x{\left(∆x\right)}^2+2x^2∆x+4x{\left(∆x\right)}^2+2{\left(∆x\right)}^3}{∆x}\\ & & \\ & & +\frac{-\cancel{5x^2}-10x∆x-5{\left(∆x\right)}^2+\cancel{3x}+3∆x-\cancel{2x^3}+\cancel{5x^2}-\cancel{3x}}{∆x})\\ & =& \frac{\cancel{∆x}(4x^2+2x∆x+2x^2+4x∆x+2{\left(∆x\right)}^2-10x-5∆x+3)}{\cancel{∆x}}\\ & =& 4x^2+2x∆x+2x^2+4x∆x+2{\left(∆x\right)}^2\\ & & -10x-5∆x+3\\ & =& 6x^2+6x∆x+2{\left(∆x\right)}^2-10x-5∆x+3\end{array}\end{array} \\ \end{gathered}$$

Vi lar $$ ∆x$$ gå mot 0 og får

$f^{\text{'}}\left(x\right) = 6x^2-10x+3$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x}& =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}(x+∆x{)}^3-2(x+∆x{)}^2+c(x+∆x)-({\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+cx)}{∆x}\\ & =& (\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(x^2+2x∆x+{\left(∆x\right)}^2\right)·(x+∆x)}{∆x}\\ & & +\frac{-2\left(x^2+2x∆x+{\left(∆x\right)}^2\right)+cx+c∆x-\left({\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+cx\right)}{∆x})\\ & =& (\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}(x^3+2x^2∆x+x(∆x{)}^2+x^2∆x+2x(∆x{)}^2+(∆x{)}^3)}{∆x}\\ & & +\frac{-\left(2x^2+4x∆x+2(∆x{)}^2\right)+cx+c∆x-({\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+cx)}{∆x})\\ & =& (\frac{\cancel{{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3}+x^2∆x+x{\left(∆x\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left(∆x\right)}^3}{∆x}\\ & & \\ & & +\frac{-\cancel{2x^2}-4x∆x-2{\left(∆x\right)}^2+\cancel{cx}+c∆x-\cancel{{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3}+\cancel{2x^2}-\cancel{cx}}{∆x})\\ & =& \frac{\cancel{∆x}(x^2+x∆x+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left(∆x\right)}^2-4x-2∆x+c)}{\cancel{∆x}}\\ & =& x^2+x∆x+\frac{1}{3}{\left(∆x\right)}^2-4x-2∆x+c\\ & & \end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$

Vi lar nå $$ ∆x$$ gå mot null. Definisjonen av den deriverte gir da at

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2-4x+c$$

Vi vet at en tredjegradsfunksjon har topp- og bunnpunkt hvis den deriverte har to nullpunkter. Derfor må vi se på for hvilke verdier av c dette skjer. Vi bruker diskriminanten (det vil si uttrykket som står inne i kvadratrottegnet i abc-formelen) og finner de verdiene av c som gjør at denne er større enn 0:

$$ \begin{array}{rcl}{b}^2-4ac & >& 0\\ {\left(-4\right)}^2-4·1·c & >& 0\\ 16-4c & >& 0\\ 16 & >& 4c\\ c & <& 4\end{array}$$

Vi ser at c må være mindre enn 4 hvis den deriverte skal ha to nullpunkter og dermed ha topp- og bunnpunkt.

Vi må igjen se på diskriminanten til den deriverte. En funksjon uten stasjonære punkt har en derivert som aldri blir 0, altså må diskriminanten være mindre enn 0. Vi bruker samme metode som i b) og snur ulikhetstegnet:

$$ \begin{array}{rcl}{b}^2-4ac & <& 0\\ 16-4c & <& 0\\ 16 & <& 4c\\ c & >& 4\end{array}$$

$$ c$$ må være større enn 4 for at funksjonen ikke skal ha noen stasjonære punkt.

Et stasjonært punkt har en tredjegradsfunksjon dersom den deriverte bare har ett nullpunkt, og de to foregående oppgavene viser oss at det må være hvis $$ c$$ er nøyaktig 4. Da kjenner vi igjen den deriverte som et fullstendig kvadrat.