Drøfting av polynomfunksjoner

Den deriverte funksjonen, $f^{\text{'}}$, har som eneste nullpunkt $x=-3$.

For $x<-3$ er $f^{\text{'}}$ positiv, som betyr at grafen til $f$ stiger. For $x>-3$ er $f^{\text{'}}$ negativ, som betyr at grafen til $f$ synker. Det betyr at funksjonen har et toppunkt for $$ x=-3$$. Grafen har ingen andre ekstremalpunkter.

Vi setter $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}2x-2 & =& 0\\ 2x & =& 2\\ x & =& 1\end{array}$

Vi vet da at det bare er for $x=1$ at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene $⟨\leftarrow , 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

$f^{\text{'}}\left(0\right)=2·0-2=-2<0$

$f^{\text{'}}\left(2\right)=2·2-2=2>0$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Vi ser av fortegnslinja at

• grafen til $f$ synker når $x<1$
• grafen til $f$ stiger når $x>1$
• grafen til $f$ har bunnpunkt når $x=1$

Vi deriverer funksjonen.

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^{3-1}-3·2x^{2-1}-9·x^{1-1}+0=3x^2-6x-9$$

Vi faktoriserer den deriverte.

$3x^2-6x-9 =3\left(x^2-2x-3\right)=3(x-3)(x+1)$

Her har vi brukt stirremetoden $\left(\left(-3\right)·1=-3 \mathrm{og} (-3)+1=-2\right)$.

Det betyr at $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ når $x=-1 \vee x=3$

Vi vet da at det bare er i punktene $\left(-1, f\left(1\right)\right)$ og $\left(3, f\left(3\right)\right)$ at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene $⟨\leftarrow , -1⟩, ⟨-1, 3⟩$ og $⟨3, \to ⟩$ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-2\right) & =& 3{\left(-2\right)}^2-6\left(-2\right)-9=3·4+12-9=15>0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(0\right) & =& 3{\left(0\right)}^2-6·0-9=-9<0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(4\right) & =& 3{\left(4\right)}^2-6·4-9=3·16-24-9=16>0\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinja for $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Vi ser av fortegnslinja at

• grafen til $f\left(x\right)$ stiger når $x<-1$ og når $x>3$
• grafen til $f\left(x\right)$ synker når $-1<x<3$
• grafen til $f\left(x\right)$ har toppunkt når $x=-1$ . Toppunktet er $\left(-1, f\left(-1\right)\right)=\left(-1, 15\right)$ fordi

$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-3{\left(-1\right)}^2-9·\left(-1\right)+10=-1-3+9+10=15$

• grafen til $f\left(x\right)$ har bunnpunkt når $x=3$ . Bunnpunktet er $\left(3, f\left(3\right)\right)=\left(3, -17\right)$ fordi

$f\left(3\right)={\left(3\right)}^3-3{\left(3\right)}^2-9·3+10=27-27+10=-17$

Nedenfor har vi tegnet skisse av grafen til $f$ sammen med fortegnslinja for den deriverte. (Her har vi tegnet den reelle grafen.)

Vi ser av grafen til den deriverte funksjonen at

• $f\left(x\right)$ stiger når $x<0$ og når $x>2$
• $f\left(x\right)$ synker når $0<x<2$
• $f\left(x\right)$ har et toppunkt for$x=0$
• $f\left(x\right)$ har et bunnpunkt for$x=2$

Nedenfor har vi tegnet grafen til en funksjon som oppfyller kravene i oppgaven.

Vi deriverer funksjonen.

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3}·3x^2+\frac{3}{2}·2x=x^2+3x$$

Vi setter $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}{x}^2+3x & =& 0\\ x\left(x+3\right) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x=-3\end{array}$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene $\langle \leftarrow , -3\rangle , ⟨-3, 0⟩$ og $⟨0, \to ⟩$ for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-4\right) & =& {\left(-4\right)}^2+3\left(-4\right)=4 \text{Positivt}\\ f^{\text{'}}\left(-2\right) & =& {\left(-2\right)}^2+3\left(-2\right)=-2 \text{Negativt}\\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& {\left(1\right)}^2+3\left(1\right)=4 \text{Positivt}\\ & & \end{array}$$

Det betyr at

• grafen til $f$ stiger i intervallene $⟨\leftarrow , -3⟩$ og $⟨0, \to ⟩$
• grafen til $f$ synker i intervallet $⟨-3, 0⟩$

$f\left(x\right)$ har toppunkt

$$ \begin{array}{rcl}\left(-3, f\left(-3\right)\right) & =& \left(-3, \frac{1}{3}{\left(-3\right)}^3+\frac{3}{2}{\left(-3\right)}^2-\frac{9}{2}\right)\\ & =& \left(-3, -\frac{18}{2}+\frac{27}{2}-\frac{9}{2}\right)\\ & =& \left(-3, 0\right)\end{array}$$

$f\left(x\right)$ har bunnpunkt

$\left(0, f\left(0\right)\right)=\left(0, \frac{1}{3}{\left(0\right)}^3+\frac{3}{2}{\left(0\right)}^2-\frac{9}{2}\right)=\left(0, -\frac{9}{2}\right)$

Vi har at $x=-3$ er ett nullpunkt. Vi kan da foreta polynomdivisjonen.

$\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc}& & & \frac{1}{3}& x^3& +& \frac{3}{2}& x^2& & & -& \frac{9}{2}& :& & (& x& +& 3& )& =& \frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}& & & & & \\ & -& (& \frac{1}{3}& x^3& +& x^2& )& & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & \frac{1}{2}& x^2& & & -& \frac{9}{2}& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & -& (& \frac{1}{2}& x^2& +& \frac{3}{2}x& )& & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & -& \frac{3}{2}x& -& \frac{9}{2}& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & -& (& -& \frac{3}{2}x& -& \frac{9}{2})& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & & & & & & \end{array}$

Vi setter så $\frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$.

Det gir følgende nye nullpunkter for$f$:

$$ \begin{array}{rcl}x & =& \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}+4·{\displaystyle \frac{1}{3}}·{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{2·{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{8}{4}}}}{2·{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{3}{2}}\right)·3·2}{{\displaystyle \frac{2}{3}·3·2}}=\frac{-3\pm 9}{{\displaystyle 4}}\\ x & =& \frac{3}{2} \vee x=-3\end{array}$$

Under ser du en skisse av grafen basert på nullpunktene og topp- og bunnpunktene vi har funnet.

Prøv å løse oppgaven ved å legge inn funksjonen $A\left(x\right)$ med konstanten $s$. Hvordan kan du bruke den deriverte funksjonen til å svare på spørsmålet?