Drøfting av polynomfunksjoner
3.4.10
Finn eventuelle ekstremalpunkter (topp- og bunnpunkter) til en funksjon der den deriverte funksjonen har følgende graf.
Løsning
Den deriverte funksjonen, , har som eneste nullpunkt .
For er positiv, som betyr at grafen til stiger. For er negativ, som betyr at grafen til synker. Det betyr at funksjonen har et toppunkt for . Grafen har ingen andre ekstremalpunkter.
3.4.11
En funksjon
Løsning
Vi setter
Vi vet da at det bare er for
Vi kan da sette opp fortegnslinja til
Vi ser av fortegnslinja at
- grafen til
synker nårf x < 1 - grafen til
stiger nårf x > 1 - grafen til
har bunnpunkt nårf x = 1
3.4.12
Funksjonen
Finn uten hjelpemidler når grafen til funksjonen
Løsning
Vi deriverer funksjonen.
Vi faktoriserer den deriverte.
Her har vi brukt stirremetoden
Det betyr at
Vi vet da at det bare er i punktene
Vi kan da sette opp fortegnslinja for
Vi ser av fortegnslinja at
- grafen til
stiger nårf x og nårx < - 1 x > 3 - grafen til
synker nårf x - 1 < x < 3 - grafen til
har toppunkt nårf x . Toppunktet erx = - 1 fordi- 1 , f - 1 = - 1 , 15
- grafen til
har bunnpunkt nårf x . Bunnpunktet erx = 3 fordi3 , f 3 = 3 , - 17
Nedenfor har vi tegnet skisse av grafen til
3.4.13
Den deriverte funksjonen til en funksjon
Finn når grafen til funksjonen
Lag en skisse av grafen til en funksjon som oppfyller kravene i oppgaven.
Løsning
Vi ser av grafen til den deriverte funksjonen at
stiger nårf x og nårx < 0 x > 2 synker nårf x 0 < x < 2 har et toppunkt forf x x = 0 har et bunnpunkt forf x x = 2
Nedenfor har vi tegnet grafen til en funksjon som oppfyller kravene i oppgaven.
3.4.14
Figuren viser grafen til en funksjon
Løsning
3.4.15
Funksjonen
Drøft monotoniegenskapene til
Løsning
Vi deriverer funksjonen.
Vi setter
Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene
Det betyr at
- grafen til
stiger i intervallenef og⟨ ← , - 3 ⟩ ⟨ 0 , → ⟩ - grafen til
synker i intervalletf ⟨ - 3 , 0 ⟩
Vi har at
Vi setter så
Det gir følgende nye nullpunkter for
Under ser du en skisse av grafen basert på nullpunktene og topp- og bunnpunktene vi har funnet.
3.4.16
Løs oppgavene 3.3.12 og 3.3.13 på siden Modellering med andregradsfunksjoner med CAS.
Tips til 3.3.13 f)
Prøv å løse oppgaven ved å legge inn funksjonen