Noen derivasjonsregler

Det å derivere en funksjon $$ f\left(x\right)$$ ved hjelp av definisjonen av den deriverte funksjonen $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ kan være mye arbeid. Det ser vi for eksempel i oppgave 3.4.20 e) på oppgavesiden "Definisjonen av den deriverte". Derfor lager vi oss derivasjonsregler som vi kan bruke i stedet for definisjonen.

Vi skal finne den deriverte til funksjonen $$ f$$ gitt ved

$$ f\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-4$$

Hva slags derivasjonsregler trenger vi dersom vi skal slippe å bruke definisjonen på den deriverte på denne funksjonen?

I utgangspunktet trenger vi en derivasjonsregel for polynomfunksjoner, siden $$ f\left(x\right)$$ er en polynomfunksjon. Vi trenger egentlig to regler til slike funksjoner.

• Vi må vite hvordan vi deriverer en funksjon av typen $$ a·x^n$$ der $$ a$$ er en vilkårlig konstant og $$ n$$ er et positivt, helt tall.

• Siden funksjonen inneholder flere ledd, må vi vite hvordan vi deriverer funksjoner som består av flere ledd, det vil si funksjoner som $$ f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$$.

Derivasjonsregel

Vi ønsker å finne $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ når $$ f\left(x\right)=a·x^n$$ der $$ a$$ er en vilkårlig konstant. I første omgang antar vi at $$ n$$ er et positivt, helt tall. Vi bruker det generelle uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart, $$ \frac{∆y}{∆x}$$, som er lik $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ når $$ ∆x\to 0$$.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{a{\left(x+∆x\right)}^n-a{x}^n}{∆x}\\ & =& a·\frac{{\displaystyle \stackrel{n \mathrm{faktorer}}{\overbrace{\left(x+∆x\right)·\left(x+∆x\right)·...·\left(x+∆x\right)}}}-x^n}{∆x}\end{array}$$

Vi får $$ n$$ faktorer av typen $$ \left(x+∆x\right)$$. Det er en stor jobb å multiplisere ut en stor potens av et slikt uttrykk, og heldigvis trenger vi ikke det. Vi trenger bare å se på noen få av de leddene vi får når potensen multipliseres ut.

Vi starter med det vi får ved å multiplisere alle $$ x$$ fra hver av de $$ n$$ faktorene. Dette gir leddet $$ x^n$$. Det er det eneste leddet vi får av typen $$ x^n$$ når vi multipliserer ut potensen. Så ser vi på det leddet vi får når vi multipliserer $$ ∆x$$ fra den første faktoren med $$ x$$ fra de $$ n-1$$ andre faktorene. Da får vi leddet

$$ ∆x·x^{n-1}$$

Blir det flere ledd av typen $$ ∆x·x^{n-1}$$? Svaret på det er ja. Hvis vi multipliserer $$ ∆x$$ fra den andre faktoren med $$ x$$ fra den første faktoren og $$ x$$fra de $$ n-2$$ andre faktorene, får vi

$$ ∆x·x·x^{n-2}=∆x·x^{n-1}$$

🤔 Tenk over: Hvor mange ledd av typen $$ ∆x·x^{n-1}$$ blir det totalt?

Når vi slår sammen disse $$ n$$ leddene, får vi

$$ n·∆x·x^{n-1}$$

Alle andre ledd vi får når vi multipliserer ut parentesene, vil inneholde faktoren $$ ∆x$$ minimum to ganger, det vil si at de inneholder faktoren $$ {\left(∆x\right)}^2$$. Det betyr at resten av leddene kan skrives som

$$ {\left(∆x\right)}^2\left(...\right)$$

der den andre parentesen inneholder ledd med potenser av $$ x$$ og $$ ∆x$$ med ulike kombinasjoner av eksponenter.

Nå kan vi gå tilbake til utregningen av $$ \frac{∆y}{∆x}$$.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& a·\frac{x^n+n·∆x·x^{n-1}+{\left(∆x\right)}^2\left(...\right)-x^n}{∆x}\\ & =& a·\frac{∆x\left(n·x^{n-1}+∆x·\left(...\right)\right)}{∆x}\\ & =& a\left(n·x^{n-1}+∆x·\left(...\right)\right)\end{array}$$

Vi får forkortet bort $$ ∆x$$. Nå kan vi la $$ ∆x$$ gå mot 0 slik vi må gjøre for å finne den deriverte funksjonen. Da forsvinner det andre leddet i parentesen, og vi får

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=a·n{x}^{n-1}$$

Det går an å vise at denne regelen gjelder for alle $$ n\in \mathrm{ℝ}$$, ikke bare for de naturlige tallene. Dette kommer vi tilbake til i fagene R1 og S1.

Eksempel

Vi skal derivere $$ f\left(x\right)=3x^2$$. Det betyr at $$ a=3$$ og $$ n=1$$. Da får vi at

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=3·2x^{2-1}=6x^1=6x$$

Vi ønsker å finne ut hvordan vi deriverer funksjoner som består av to ledd. Vi setter

$$ f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$$

Så bruker vi igjen det generelle uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart, $$ \frac{∆y}{∆x}$$, og ser hva vi får.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)+h\left(x+∆x\right)-\left(g\left(x\right)+h\left(x\right)\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)-g\left(x\right)+h\left(x+∆x\right)-h\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)-g\left(x\right)}{∆x}+\frac{h\left(x+∆x\right)-h\left(x\right)}{∆x}\end{array}$$

Når vi nå lar $$ ∆x$$ gå mot 0, går det første leddet mot den deriverte av funksjonen $$ g$$, det vil si $$ g^{\text{'}}\left(x\right)$$, mens det andre leddet går mot $$ h^{\text{'}}\left(x\right)$$. Vi får derfor at

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)+h^{\text{'}}\left(x\right)$$

Konklusjonen blir at dersom en funksjon er en sum av to delfunksjoner blir den deriverte lik summen av den deriverte av hver delfunksjon. Kort sagt: Vi deriverer ledd for ledd. Denne framgangsmåten gjelder også når $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ består av tre eller flere ledd, og du får studert dette nærmere i en av oppgavene.

Hva gjør vi hvis funksjonen inneholder et konstantledd slik som eksempelfunksjonen øverst på siden? Vi vet at den deriverte av en konstant er 0 fordi grafen til en konstant funksjon er ei vannrett linje, som har stigningstall 0.

Vi kan vise dette ved å bruke uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart igjen. Vi setter $$ f\left(x\right)=a$$. Da får vi

$$ \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{a-a}{∆x}\\ & =& 0\end{array}$$

Her slipper vi å la $$ ∆x$$ gå mot null siden den ble borte. Vi får at

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$

Nå kan vi prøve å derivere eksempelfunksjonen $$ f$$ fra øverst på siden.

$$ f\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-4$$

Vi deriverer ledd for ledd:

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2·3·x^{3-1}-2·x^{2-1}+3·x^{1-1}+0\\ & =& 6x^2-2x+3\end{array}$$