Noen derivasjonsregler
Bakgrunn
Det å derivere en funksjon ved hjelp av definisjonen av den deriverte funksjonen
Eksempelfunksjon
Vi skal finne den deriverte til funksjonen
Hva slags derivasjonsregler trenger vi dersom vi skal slippe å bruke definisjonen på den deriverte på denne funksjonen?
I utgangspunktet trenger vi en derivasjonsregel for polynomfunksjoner, siden
Vi må vite hvordan vi deriverer en funksjon av typen
dera · x n er en vilkårlig konstant oga er et positivt, helt tall.n Siden funksjonen inneholder flere ledd, må vi vite hvordan vi deriverer funksjoner som består av flere ledd, det vil si funksjoner som
.f x = g x + h x
Derivasjon av polynomfunksjoner
Derivasjonsregel
Vi ønsker å finne
Vi får
Vi starter med det vi får ved å multiplisere alle
Blir det flere ledd av typen
🤔 Tenk over: Hvor mange ledd av typen
Antall ledd
Vi får ett ledd for hver faktor, det vil si totalt
Når vi slår sammen disse
Alle andre ledd vi får når vi multipliserer ut parentesene, vil inneholde faktoren
der den andre parentesen inneholder ledd med potenser av
Nå kan vi gå tilbake til utregningen av
Vi får forkortet bort
Det går an å vise at denne regelen gjelder for alle
Eksempel
Vi skal derivere
Derivasjon av funksjoner med to ledd
Vi ønsker å finne ut hvordan vi deriverer funksjoner som består av to ledd. Vi setter
Så bruker vi igjen det generelle uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart,
Når vi nå lar
Konklusjonen blir at dersom en funksjon er en sum av to delfunksjoner blir den deriverte lik summen av den deriverte av hver delfunksjon. Kort sagt: Vi deriverer ledd for ledd. Denne framgangsmåten gjelder også når
Derivasjon av en konstant
Hva gjør vi hvis funksjonen inneholder et konstantledd slik som eksempelfunksjonen øverst på siden? Vi vet at den deriverte av en konstant er 0 fordi grafen til en konstant funksjon er ei vannrett linje, som har stigningstall 0.
Vi kan vise dette ved å bruke uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart igjen. Vi setter
Her slipper vi å la
Tilbake til eksempelfunksjonen
Nå kan vi prøve å derivere eksempelfunksjonen
Vi deriverer ledd for ledd:
Oppsummering
Du lærer flere derivasjonsregler i fagene R1 og S1. Her er derivasjonsreglene vi har gått gjennom på denne siden.
Den deriverte av en potensfunksjon
der
Den deriverte av en sum av funksjoner
Den deriverte av en konstant
der