Definisjonen av den deriverte

Vi benytter oss av samme prinsipp som vi brukte for å finne en tilnærmet verdi for den momentane vekstfarten.

Vi tar utgangspunkt i en tilfeldig funksjon $f$.
Vi tegner grafen til funksjonen, velger en tilfeldig $x$-verdi og får et punkt på grafen $A\left(x, f\left(x\right)\right)$.

Vi ønsker å finne vekstfarten til funksjonen for akkurat denne $x$-verdien.

Vi gir $x$ et tillegg $\Delta x$ og får et nytt punkt på grafen, $B\left(x+\Delta x, f\left(x+\Delta x\right)\right)$.

Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene $A$ og $B$.

Vi regner ut stigningstallet for denne linja:

$a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\left(x+\Delta x\right)-x}=\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$

Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittlig vekstfart fra A til B.

Vi lar nå punktet $B$ nærme seg punktet $A$. Vi lar altså $\Delta x$ gå mot null.

Da vil sekanten (grønn) gradvis nærme seg til å bli en tangent (rød linje) til kurven i $A$.

Stigningstallet (brattheten) til denne tangenten forteller hvor fort kurven vokser akkurat her. Vi kaller dette stigningstallet for den momentane veksten i punktet $\left(x, f\left(x\right)\right)$ eller den deriverte til $f$ i punktet. Vi skriver $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ og leser «$f$ derivert av $x$».

Definisjonen av den deriverte er en lokal definisjon. Den sier noe om verdien av den deriverte i et punkt, nemlig punktet med førstekoordinaten $x$. Hvis vi nå betrakter alle verdier av $x$ i definisjonsområdet til$f$, får vi en ny funksjon, den deriverte funksjonen $$ f^{\text{'}}$$ som til hver verdi av $x$ har $y$-verdien $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$. Det er denne funksjonen vi kaller den deriverte funksjonen.
Derivere betyr "å utlede eller avlede" og $$ f^{\text{'}}$$ er en ny funksjon som vi har utledet fra $f$ .

Den momentane vekstfarten eller den deriverte av$f\left(x\right)=x^2+2$ når for eksempel$x=0,5$, er altså det samme som stigningstallet for tangenten til kurven når$x=0,5$.

Vi kan finne en verdi for denne vekstfarten grafisk ved å tegne grafen til $f$ og tangenten til $f$ når $x=0,5$.

Vi ser at tangenten har stigningstallet $1$. Den momentane vekstfarten er altså lik $1$ når
$x=0,5$.
Den deriverte av $f\left(x\right)$ når $x=0,5$ er $1$. Vi skriver

$$ f^{\text{'}}\left(0,5\right)=1$$.

Vi vil nå regne oss fram til den deriverte til $f\left(x\right)=x^2+2$ når $x=0,5$.

Vi husker at definisjonen på den deriverte $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ er den verdien som $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$ nærmer seg mot når $\Delta x$ går mot null.

Hvordan finner vi så$f\left(x+\Delta x\right)$?
$f\left(x+\Delta x\right)$er det uttrykket du får når du bytter ut $x$ med $x+\Delta x$ i funksjonsuttrykket.

Det gir

$\begin{array}{lcl}\frac{\Delta y}{\Delta x}& =& \frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}\\ & & \\ & =& \frac{{\left(x+\Delta x\right)}^2+2-\left(x^2+2\right)}{\Delta x}\\ & & \\ & =& \frac{x^2+2·x·\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2+2-x^2-2}{\Delta x}\\ & & \\ & =& \frac{2·x·\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2}{\Delta x}\\ & & \\ & =& \frac{\cancel{\Delta x}·\left(2x+\Delta x\right)}{\cancel{\Delta x}}\\ & & \\ & =& 2x+\Delta x\\ & & \\ & & \end{array}$

(Husk at $\Delta x$ er én variabel.)

Når $\mathrm{\Delta }x$ blir mer og mer lik null, så må jo$2x+\mathrm{\Delta }x$bli mer og mer lik $2x$. Derfor vil $2x+\mathrm{\Delta }x$ nærme seg $2x$ når $\mathrm{\Delta }x$ går mot null.

Vi har nå funnet at når$f\left(x\right)=x^2+2$, så er$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=2x$$.

Da kan vi regne ut$$ f^{\text{'}}\left(0,5\right)=2·0,5=1$$.

Den deriverte funksjonen til $f$,$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=2x$$, er en ny funksjon og er definert for alle verdier av $x$ i definisjonsområdet til $f$ .

Vi kan bruke denne funksjonen til å finne den momentane vekstfarten for alle verdier av $x$ i definisjonsområdet til $f$.

For eksempel er$$ f^{\text{'}}\left(4\right)=2·4=8$$. Den momentane vekstfarten når $x=4$ er lik $8$.