Rasjonale funksjoner, horisontal asymptote og asymptotefunksjon

Horisontale asymptoter kan vi finne ved å la x gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall.

Eksempel 1

For funksjonen $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$ har vi at

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x+2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}}=\frac{1-0}{1+0}=1$

Det betyr at den horisontale asymptoten til funksjonen f er $y=1$. Nedenfor har vi tegnet både den horisontale og den vertikale asymptoten sammen med grafen til funksjonen.

Vi kan finne asymptotene med kommandoen Asymptote(f) i CAS i GeoGebra. Legg merke til at her antar vi at funksjonen f er skrevet inn på forhånd. Hvis ikke, må vi enten først skrive inn funksjonen før vi bruker kommandoen eller sette inn selve funksjonsuttrykket mellom parentesene i kommandoen. Trykk på den hvite sirkelen ved ett-tallet i CAS-vinduet for å få tegnet asymptotene i grafikkfeltet.

Tips: Når du skal tegne grafen til en rasjonal funksjon for hånd, er det lurt å finne asymptotene først.

Du kan se en film med dette eksempelet nederst på siden, og du kan lese mer om vertikal asymptote på fagstoffsiden "Rasjonale funksjoner og vertikale asymptoter".

Eksempel 2

For funksjonen $f\left(x\right)=\frac{3x^2}{x^2-x}$ har vi at

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x^2}{x^2-x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{3x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3}{1-\frac{1}{x}}=\frac{3}{1-0}=3$

Når x går mot pluss eller minus uendelig, vil grafen nærme seg linja $y=3$.

Linja $y=3$ er derfor en horisontal asymptote for funksjonen f. Nedenfor har vi tegnet både den horisontale og den vertikale asymptoten sammen med grafen til funksjonen ved hjelp av kommandoen Asymptote(f). Legg merke til at funksjonen ikke eksisterer for $x=0$. Derfor har vi markert dette på grafen.

Asymptotefunksjon

Ikke alle rasjonale funksjoner har en horisontal asymptote. I eksempelet under skal du utforske det selv – med litt hjelp.

Eksempel 3

Vi ønsker å finne asymptotene til funksjonen $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x-1}$.

Finne asymptoter med CAS

Den enkleste måten er å bruke CAS og først skrive inn funksjonen og deretter bruke kommandoen Asymptote(f).

Her får vi at $x=1$ er den vertikale asymptoten til funksjonen f, men $y=x+1$ er ikke den horisontale asymptoten. Dette er ei rett linje med stigningstall lik 1. Derfor kaller vi dette en asymptotefunksjon til funksjonen f.

Vi tegner grafen til funksjonen f sammen med asymptotene og ser hva vi får. Når vi har funnet asymptotene på måten som er beskrevet over, er grafen til funksjonen allerede tegnet i grafikkfeltet i GeoGebra. Vi trykker på den hvite sirkelen rett under to-tallet i linje 2 i CAS-feltet for å få tegnet asymptotene.

Vi ser at grafen til funksjonen f kryper inntil grafen til asymptotefunksjonen $y=x+1$ når $x\to \pm \infty$.

Finne asymptotefunksjonen uten hjelpemidler

Ved å skrive om funksjonsuttrykket med polynomdivisjon kan vi finne asymptotefunksjonen til f.

Prøv selv: Vis ved å gjennomføre polynomdivisjon at funksjonen $f\left(x\right)$ kan skrives som

$f\left(x\right)=x+1+\frac{1}{x-1}$.

Løsning

$\begin{array}{ccccccccccc}& & x^2& :& (& x& ⎯& 1& )& = & x+1+\frac{1}{x-1} \\ ⎯& (& x^2& ⎯& x& )& & & & & \\ & & & & x& & & & & & \\ & & -& (& x& ⎯& 1& )& & & \\ & & & & & & 1& & & & \end{array}$

Polynomdivisjonen går ikke opp. Vi får en rest lik 1. Denne resten skal også deles på $x-1$. Derfor må vi legge til brøken $\frac{1}{x-1}$.

Vi kan også polynomdividere med GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Divisjon()". Dersom du får problemer med å skrive inn kommandoen, bruk stor D i "Divisjon".

Legg merke til at divisjonsresten kommer etter kommaet i svaret.

🤔 Tenk over: Bruk resultatet over til å forklare hvorfor$f\left(x\right)\to x+1$ når $x\to \pm \infty$.

🤔 Tenk over: I de to første eksemplene på siden finner vi den horisontale asymptoten ved å finne grenseverdien $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)$.

Eksisterer denne grenseverdien for funksjonen i eksempel 3?

Diskuter påstanden: "Dersom grenseverdien $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)$ hadde eksistert, ville funksjonen ha hatt en horisontal asymptote."

Film: Horisontal asymptote

I filmen under (lengde 3:11) får du en gjennomgang av det første eksempelet på siden.