Oppgave

Rasjonale funksjoner og vertikale asymptoter

Disse oppgavene med grenseverdier til rasjonale funksjoner kan løses med og uten digitale verktøy. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Funksjonen f er gitt ved

$f (x) = \frac{2 x + 4}{x - 4}$

a) Hva kaller vi denne typen funksjoner, og hva kjennetegner dem?

Løsning

Det er en rasjonal funksjon, siden telleren og nevneren er polynomer. En rasjonal funksjon er ikke definert når nevneren er lik 0, det vil si for de x-verdiene som gjør at nevneren blir 0.

b) Fyll ut verditabellen:

Verditabell
x	$f (x)$
0
1
2
3
3,5
3,99
4
4,01
5
6
7

Løsning

Verditabell
x	$f (x)$
0	$- 1$
1	$- 2$
2	$- 4$
3	$- 10$
3,5	$- 22$
3,99	$- 1198$
4
4,01	1 202
5	14
6	8
7	6

c) Se på verditabellen og beskriv hva som skjer når x-verdien nærmer seg 4. Hvilken betydning har det for grafen til f?

Løsning

Når x-verdien nærmer seg 4 fra den negative sida av x-aksen, slik som når x er lik 3,99 i verditabellen, minker verdien til $f (x)$ mye. Grafen avtar raskt. Når x-verdien nærmer seg 4 fra den positive sida av x-aksen, slik som når x er lik 4,01 i verditabellen, stiger verdien til $f (x)$ mye. Grafen vokser raskt.

d) Se på verditabellen og beskriv hva som skjer når $x = 4$ . Hvilken betydning har det for grafen til f?

Løsning

Det er ikke mulig å finne en $f (x)$ -verdi for x er lik 4, siden nevneren blir 0. Grafen eksisterer ikke for $x = 4$ .

e) Finn den vertikale asymptoten uten hjelpemidler.

Løsning

Vi setter nevneren lik 0 for å finne den vertikale asymptoten:

$\begin{array}{rcl} x - 4 & = & 0 \\ x & = & 4 \end{array}$

Vi har funnet en vertikal asymptote for $x = 4 .$

f) Bruk digitale verktøy til å tegne funksjonen $f (x) = \frac{2 x + 4}{x - 4}$ sammen med den vertikale asymptoten.

Løsning

Vi tegner grafen til $f (x) = \frac{2 x + 4}{x - 4}$ og linja $x = 4$ :

Grafen til f av x er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 10 til 20 og y-aksen går fra minus 8 til 12. Grafen til f minker mot minus uendelig når den nærmer seg x er lik 4 fra venstre side, mens den vokser mot uendelig når den nærmer seg x er lik 4 fra høyre side. Illustrasjon.

Oppgave 2

Funksjonen f er gitt ved

$f (x) = \frac{3 x + 6}{x^{2} - 4}$

a) Regn ut grenseverdiene for f når x går mot 2 og $- 2$ uten hjelpemidler.

Løsning

$x = - 2$ :

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to - 2} \frac{3 x + 6}{x^{2} - 4} & = & \frac{3 \cdot (- 2) + 6}{{(- 2)}^{2} - 4} = \frac{- 6 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0} \end{array}$

Vi sjekker om funksjonsuttrykket kan forkortes:

$\frac{3 x + 6}{x^{2} - 4} = \frac{3 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{3}{x - 2}$

$\lim_{x \to - 2} f (x) = \lim_{x \to - 2} \frac{3}{x - 2} = \frac{3}{- 2 - 2} = - \frac{3}{4}$

$x = 2$ :

Vi kan bruke det forkorta uttrykket til å regne ut den andre grenseverdien:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 2} \frac{3}{x - 2} & = & \frac{3}{2 - 2} = \frac{3}{0} = + \infty \end{array}$

Grenseverdien eksisterer ikke.

b) Finn grenseverdiene for f når x går mot 2 og $- 2$ med CAS.

Løsning

Vi bruker CAS i GeoGebra, velger kommandoen "Grenseverdi(<Uttrykk>,<Verdi>) og får:

CAS-utregning i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Grenseverdi parentes 3 x pluss 6 i telleren og x i andre minus 4 i nevneren komma 2 parentes slutt. Svaret er spørsmålstegn. På linje 2 er det skrevet Grenseverdi parentes 3 x pluss 6 i telleren og x i andre minus 4 i nevneren komma minus 2 parentes slutt. Svaret er minus 3 firedeler. Skjermutklipp.

c) Hva kan vi si om funksjonen ut ifra grenseverdiene vi fant i a) og b)?

Løsning

Funksjonen eksisterer ikke for $x = - 2$ eller for $x = 2$ fordi det blir 0 i nevneren på funksjonsuttrykket. Men siden $\lim_{x \to - 2} f (x)$ eksister, har grafen til funksjonen ingen vertikal asymptote i $x = - 2$ . Grafen til funksjonen har en vertikal asymptote i $x = 2$ .

d) Hvilken sammenheng er det mellom grafen til f og den vertikale asymptoten til f?

Løsning

Den vertikale asymptoten til f lager ei rett linje som grafen til f bare kan nærme seg, men ikke krysse.

e) Tegn grafen til f sammen med den vertikale asymptoten.

Løsning

Vi skriver inn funksjonen $f (x) = \frac{3 x + 6}{x^{2} - 4}$ og asymptoten $x = 2$ i GeoGebra:

Grafen til f av x er lik parentes 3 x pluss 6 parentes slutt delt på parentes 'x i andre minus 4 parentes slutt er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 3 til 8 og y-aksen går fra minus 3 til 3. Grafen til f minker mot minus uendelig når den nærmer seg x er lik 2 fra venstre side, mens den vokser mot pluss uendelig når den nærmer seg x er lik 2 fra høyre side. En vertikal asymptote er tegnet inn for x er lik 2. Illustrasjon.

Vi har satt et kryss på det punktet der grafen krysser linja $x = - 2$ for å markere at funksjonen og grafen ikke eksisterer der.

Oppgave 3

Finn definisjonsområdet og eventuelle vertikale asymptoter for hver av funksjonene under uten hjelpemidler.

a) $f (x) = \frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 4}$

Løsning

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for x-verdier som gir 0 i nevneren. Vi setter nevneren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 & = & 0 \\ x^{2} & = & - 4 \end{array}$

Det er ingen x-verdier som gir 0 i nevneren. Definisjonsområdet for f er derfor $D_{f} = ℝ$ . Funksjonen har ingen vertikale asymptoter siden den er definert for alle verdier av x.

b) $g (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 4}$

Løsning

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for x-verdier som gir 0 i nevneren. Vi setter nevneren lik 0:

$x^{2} - 4 = 0 x^{2} = 4 x = 2 \lor x = - 2$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = 2$ : $2 + 1 = 3 .$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = - 2$ : $- 2 + 1 = - 1 .$

Både $x = 2$ og $x = - 2$ er asymptoter for $f (x) .$ Definisjonsområdet for g er $D_{g} = ℝ \ \{- 2, 2\}$ .

c) $h (x) = \frac{4 x^{2}}{x^{2} - x}$

Løsning

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for x-verdier som gir 0 i nevneren. Vi setter nevneren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - x & = & 0 \\ x (x - 1) & = & 0 \\ x & = & 0 \lor x = 1 \end{array}$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = 0$ : $4 \cdot 0^{2} = 0$ . Det gir et $\frac{0}{0}$ -uttrykk. Funksjonen kan da ha en grenseverdi når x nærmer seg null.

Grenseverdien finner vi slik:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{x^{2} - x} & = & \lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{x (x - 1)} \\ = & \frac{4 \cdot 0}{0 - 1} = \frac{0}{- 1} = 0 \end{array}$

Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for $x = 0$ .

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = 1$ : $4 \cdot 1^{2} = 4$ . Telleren er et tall forskjellig fra null, og nevneren er null for $x = 1$ , så $x = 1$ er en vertikal asymptote. Definisjonsområdet for h er $D_{h} = ℝ \ \{1\}$ .

d) $i (x) = \frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 5 x + 6}$

Løsning

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for x-verdier som gir 0 i nevneren. Vi setter nevneren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 5 x + 6 & = & 0 \\ (x + 2) \cdot (x + 3) & = & 0 \\ x & = & - 2 \lor x = - 3 \end{array}$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = - 2$ : $(- 2)^{2} - (- 2) = 4 + 2 = 6$ .

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = - 3$ : $(- 3)^{2} - 2 = 9 - 2 = 7$ .

Både $x = - 2$ og $x = - 3$ er asymptoter for $i (x)$ . Definisjonsområdet for i er $D_{i} = ℝ \ \{- 2, - 3\}$ .

Oppgave 4

Finn eventuelle vertikale asymptoter til funksjonene uten bruk av hjelpemidler. Prøv å beskrive hva de vertikale asymptotene forteller om funksjonen i hvert enkelt tilfelle. Til slutt bruker du digitale verktøy til å tegne funksjonen og asymptotene.

a) $f (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$

Løsning

Vi setter nevneren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x - 1 & = & 0 \\ x & = & 1 \end{array}$

Det betyr at funksjonen ikke eksisterer for $x = 1$ .

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = 1$ : $1 + 3 = 4$

$x = 1$ er derfor en vertikal asymptote for f, og grafen kan ikke krysse linja $x = 1 .$ Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x = 1$ fra

venstre side: $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$
høyre side: $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \infty$

Vi tegner grafen og den vertikale asymptoten med GeoGebra:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x pluss 3 parentes slutt delt på parentes x minus 1 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 8 og 12. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik 1 tegnet. Grafen til f kryper inntil linja og er stigende når x nærmer seg 1 fra den positive sida. Grafen kryper inntil linja og er synkende når x nærmer seg 1 fra den negative sida. Illustrasjon.

b) $g (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 9}$

Løsning

Vi setter nevneren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 9 & = & 0 \\ x^{2} & = & 9 \\ x & = & \pm 3 \end{array}$

Det betyr at funksjonen ikke eksisterer for $x = - 3$ eller for $x = 3$ .

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = 3$ : $3^{2} - 4 = 5$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = - 3$ : $(- 3)^{2} - 4 = 5$

Både $x = - 3$ og $x = 3$ er derfor vertikale asymptoter for g, og grafen kan ikke krysse disse linjene.

Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x = - 3$ fra

venstre side: $\lim_{x \to - 3^{-}} g (x) = + \infty$
høyre side: $\lim_{x \to - 3^{+}} g (x) = - \infty$

Så ser vi på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x = 3$ fra

venstre side: $\lim_{x \to 3^{-}} g (x) = - \infty$
høyre side: $\lim_{x \to 3^{+}} g (x) = + \infty$

Vi tegner grafen og de vertikale asymptotene med GeoGebra:

Grafen til funksjonen g av x er lik parentes x i andre minus 4 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 9 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 6 og 7. I tillegg er 2 loddrette eller vertikale linjer tegnet for x er lik minus 3 og x er lik 3. Grafen til g kryper inntil linja og er stigende når x nærmer seg minus 3 fra den negative sida. Grafen kryper inntil linja og er synkende når x nærmer seg 3 fra den negative sida. Grafen er synkende og kryper inntil linja x er lik minus 3 når den nærmer seg denne linja fra den positive sida. Grafen er voksende når x nærmer seg 3 fra den positive sida. Illustrasjon.

c) $h (x) = \frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 5 x - 6}$

Løsning

Vi setter nevneren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 5 x - 6 & = & 0 \\ (x - 6) (x + 1) & = & 0 \\ x & = & 6 \lor x = - 1 \end{array}$

Det betyr at funksjonen ikke eksisterer for $x = 6$ eller for $x = - 1$ .

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = 6$ : $6^{2} - 3 = 36 - 3 = 33$

$x = 6$ er en vertikal asymptote for $h (x)$ .

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = - 1$ : ${(- 1)}^{2} - 3 = 1 - 3 = - 2$

$x = - 1$ er en vertikal asymptote for $h (x)$ .

Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x = 6$ fra

venstre side: $\lim_{x \to 6^{-}} h (x) = - \infty$
høyre side: $\lim_{x \to 6^{+}} h (x) = + \infty$

Så ser vi på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x = - 1$ fra

venstre side: $\lim_{x \to - 1^{-}} h (x) = - \infty$
høyre side: $\lim_{x \to - 1^{+}} h (x) = + \infty$

Vi tegner grafen og de vertikale asymptotene med GeoGebra:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre minus 3 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 5 x minus 6 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 6 og 10. I tillegg er de loddrette eller vertikale linjene x er lik minus 1 og x er lik 6 tegnet. Grafen til h kryper inntil linja x er lik minus 1 fra den negative sida og er avtagende. Grafen til h er voksende når man nærmer seg x er lik minus 1 fra den positive sida. Grafen til h er synkende og kryper inntil linja x er lik 6 når man nærmer seg linja fra den negative sida. Grafen til h er voksende når man nærmer seg linja x er lik 6 fra den positive sida. Illustrasjon.

d) $i (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$

Løsning

Vi setter nevneren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm 2 \end{array}$

Funksjonen eksisterer ikke for $x = - 2$ eller for $x = 2$ .

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = 2$ : $2 + 2 = 4$

$x = 2$ er en vertikal asymptote for $i (x)$ .

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x = - 2$ : $- 2 + 2 = 0$

$x = - 2$ er ikke en vertikal asymptote for $i (x)$ .

Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x = 2$ fra

venstre side: $\lim_{x \to 2^{-}} i (x) = - \infty$
høyre side: $\lim_{x \to 2^{+}} i (x) = \infty$

Så tegner vi grafen til i og asymptoten med GeoGebra:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x pluss 2 parentes slutt parentes x i andre minus 4 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 3 og 8. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik 2 tegnet. Grafen til f synker når den nærmer seg linja x er lik 2 fra den negative sida. Grafen til f er voksende når den nærmer seg x er lik 2 fra den positive sida. Illustrasjon.

Vi har satt et kryss på det punktet der grafen krysser linja $x = - 2$ for å markere at funksjonen og grafen ikke eksisterer der.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokument.