Hopp til innhold
Fagartikkel

Grenseverdier til polynomer og rasjonale uttrykk

Vi skal se nærmere på tre situasjoner vi kan havne i når vi ser på grenseverdier for brøker.

Grenseverdier til polynomfunksjoner

En regel sier at grenseverdien til en polynomfunksjon f(x) når x går mot en bestemt verdi a, kan vi finne ved å regne ut f(a).

limxa fx=fa  når f er en polynomfunksjon.

Eksempel

limx4 x2-3x+3=42-3·4+3=7

Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen «Grenseverdi()», som vist til høyre.

Grenseverdien til en rasjonal funksjon

Rasjonale funksjoner består av polynomfunksjoner i teller og nevner. Vi kan også her finne grenseverdier ved innsetting. Forutsetningen er at vi ikke får null i nevner.

Vi skiller mellom tre ulike situasjoner.

1. Grenseverdi for en brøk der nevneren ikke går mot null

Eksempel

Vi ser på brøkene  x+5x-1  og  x-3x-1  når x går mot 3. Her kan vi finne grenseverdiene direkte ved å sette inn 3 i stedet for x og regne ut.

limx3 x+5x-1=3+53-1=82=4limx3 x-3x-1=3-33-1=02=0

2. Grenseverdi for en brøk der nevneren går mot null, men telleren ikke går mot null

Vi ser på brøken  2x-1x2-4. Hva skjer med brøken når x går mot 2?

Oppgave

Prøv å sette inn tall som er nære 2. Hva får du?

Løsningsforslag

2·2,001-12,0012-47502·2,000 001-12,000 0012-4750 0002·2,00 000 001-12,00 000 0012-475 000 000

Når x går mot 2, vil telleren gå mot 3, mens nevneren blir mindre og mindre. Det betyr at verdien til brøken blir større og større. Utregningene ovenfor viser dette. Det viser seg at det ikke eksisterer noen grenseverdi. Verdien av brøken vokser over alle grenser.

Det betyr at  limx2 2x-1x2-4  ikke eksisterer.

Hva får du hvis du prøver kommandoen «Grenseverdi» i CAS i GeoGebra på denne grenseverdien?

En brøk har ingen grenseverdi for  x=a  hvis vi får null i nevner og et tall forskjellig fra null i teller når vi setter inn tallet a. Da vil verdien av brøken gå mot enten pluss eller minus uendelig når x nærmer seg a .

Nedenfor viser vi hvordan vi kan regne en slik oppgave.

Eksempel

limx2 x2-6x-222-6=-22-2=0limx2 x2-6x-2 eksisterer ikke

Med CAS i GeoGebra får vi et spørsmålstegn til svar. Tilsvarende som når det ikke eksisterer en løsning på en likning, betyr dette at grenseverdien ikke eksisterer.

3. Grenseverdi for en brøk der både telleren og nevneren går mot null

En regel sier at hvis to funksjoner f og g er like for alle verdier i nærheten av a, men ikke nødvendigvis for  x=a , så er

limxa fx=limxa gx

Vi ser på brøken  x2-162x-8. Når  x=4, får vi null i både teller og nevner.

Dette betyr at vi kan faktorisere og forkorte, og vi får

limx4 x2-162x-8=limx4 x-4x+42x-4=limx4 x+42=4+42=4

Her er  fx=x2-162x-8  og  gx=x+42 .

Med CAS i Geogebra får vi samme svar.

Nedenfor viser vi hvordan en slik oppgave kan regnes for hånd.

Eksempel

limx2 x2+x-6x-2

22+2-6 = 02-2=0

limx2 x2+x-6x-2=limx2 x-2x+3x-2=limx2 x+3=2+3=5

Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.

Eksempel

limx4 6x-23x-1264-2=03·4-12=0limx4 6x-23x-12=limx4 6x-23(x-4)=limx4 62x-23(x+2)x-2=limx4 2x+2=24+2=24=12

Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist faglig oppdatert 21.10.2020