Sinussetningen

Vi bruker sinussetningen.

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin A}{a} & =& \frac{\sin B}{b}\\ \frac{\sin 39°}{a} & =& \frac{\sin 59°}{3,0}\end{array}$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Vi får at siden $a=2,2 \mathrm{cm}$.

Vi bruker sinussetningen.

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin A}{a} & =& \frac{\sin B}{b}\\ \frac{\sin 110,5°}{8,5} & =& \frac{\sin 19,8°}{b}\end{array}$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Vi får at $b=3,1 \mathrm{cm}$.

Den motstående siden til vinkelen på 99 grader har lengden 5,0. Siden x er motstående side til den andre oppgitte vinkelen på 29,2°. Da kan vi sette opp en likning ved hjelp av sinussetningen.

$\frac{\sin 99°}{5,0}=\frac{\sin 29,2°}{x}$

Løsning med CAS i GeoGebra:

Vi får at $x=2,5$.

Vi starter med å regne ut den siste vinkelen ved å bruke at vinkelsummen i trekanter er 180 grader. Så finner vi den motstående siden til vinkelen på 81,7 grader med sinussetningen. Til slutt bruker vi sinussetningen igjen for å finne den siste ukjente siden, siden mellom de to oppgitte vinklene, ved å bruke den siste vinkelen vi regnet ut først. Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra.

• Den tredje vinkelen er 33,8°.

• Den vannrette siden nederst er 7,8.

• Siden til høyre er 4,4.

Nedenfor har vi skrevet på målene på trekanten for å gjøre det tydelig.

Vi bruker sinussetningen.

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin A}{a} & =& \frac{\sin B}{b}\\ \frac{\sin A}{4.0} & =& \frac{\sin 59°}{6.0}\end{array}$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Vi må sjekke hvilke verdier for $k_1$ som gir mulige verdier for vinkel A. I den første løsningen får vi $A=34,9°$ når vi setter $k_1=0$. Den andre løsningen gir ingen mulige vinkler siden vinkel A ikke kan være 145,2° fordi da blir vinkelsummen i trekanten større enn 180°.

Vi får at $A=34,9°$.

Den motstående siden til vinkelen på 68,1 grader har lengden 7,1. Siden med lengde 7,6 er motstående side til den vinkelen vi skal finne. Da kan vi sette opp en likning ved hjelp av sinussetningen.

$\frac{\sin 68,1°}{7,1}=\frac{\sin v}{7,6}$

Løsning med CAS i GeoGebra:

For den første løsningen for v får vi at $v=83,3°$ når $k_1=0$. For den andre løsningen for v får vi at $v=96,7°$ når $k_1=0$. I linje 3 har vi sjekket at dette også er en mulig løsning.

Når det er to mulige vinkler v i trekanten betyr det at det er to mulige trekanter som passer til beskrivelsen i oppgaven. Nedenfor har vi tegnet en skisse av hvordan det ser ut.

Tenk deg at du setter passeren i punkt B og slår en sirkel med radius 6,0 cm. Du vil da skjære venstre vinkelbein til vinkel A på to steder, nemlig i $C_{1 }$ og $C_2$.

Du får da to løsningstrekanter $AB{C}_{1 }$ og $AB{C}_2$.

Vi bruker sinussetningen.

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin A}{BC} & =& \frac{\sin C}{AB}\\ \frac{\sin 30°}{6,0} & =& \frac{\sin C}{8,0}\end{array}$

Vi løser likningen i GeoGebra.

Vi får mulige løsninger når $k_1=0$ i begge løsningsalternativene. Løsningene er

$\angle C_1=41,8°$ og $\angle C_2=138,2°$

Vi tegner en skisse av trekanten.

Vinkel C er 90°, og vi kan bruke definisjonen av sinus som gjelder for rettvinklede trekanter. Vi får

$\begin{array}{rcl}\sin A & =& \frac{BC}{AB}\\ \sin 30° & =& \frac{BC}{8,0}\\ \frac{1}{2} & =& \frac{BC}{8}\\ 4 ,0 & =& BC\end{array}$

Vi får at $BC=4,0 \mathrm{cm}$.

(Vi kunne også ha brukt direkte at den minste kateten er halvparten av hypotenusen i en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°.)

Bruk sinussetningen slik som i oppgave b), men behold BC som ukjent.

Vi bruker sinussetningen.

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin A}{BC} & =& \frac{\sin C}{AB}\\ \frac{\sin 30°}{BC} & =& \frac{\sin C}{8,0} |·8,0\\ 8,0·\frac{1}{2BC} & =& \sin C\\ \frac{4}{BC} & =& \sin C\end{array}$

For at denne likningen skal ha en løsning for vinkel C, må vi kreve at

$\begin{array}{rcl}\frac{4}{BC} & \le & 1 |·BC\\ 4 & \le & BC\end{array}$

I denne ulikheten er det greit å multiplisere med den ukjente BC siden vi krever at BC er positiv.

For at det skal være mulig å regne ut en vinkel C, må BC være større enn eller lik 4 cm. Det betyr at dersom lengden av BC er kortere enn 4,0 cm, vil vi ikke ha noen løsninger.

🤔 Tenk over: Hvordan kan vi forklare dette resultatet geometrisk?

Forklaring: Hvis BC er mindre enn 4 cm, vil ikke siden rekke opp til venstre vinkelbein til vinkel $A$. Det er fordi den korteste avstanden fra B opp til venstre vinkelbein til A er 4 cm. Se figuren nedenfor.

Fra d) har vi at det er ingen trekant dersom BC er mindre enn 4 cm. Fra c) har vi at det er én mulig trekant dersom BC er 4 cm, for da rekker BC akkurat opp til det venstre vinkelbeinet til vinkel A. Vi får to mulige trekanter hvis BC er større enn 4,0 cm, men det gjelder bare til BC blir like lang som AB. Så hvis BC er større enn eller lik AB, er det igjen bare én mulig trekant. Vi oppsummerer:

• ingen trekant: $BC<4,0 \mathrm{cm}$

• én mulig trekant: $BC=4,0 \mathrm{cm} \vee BC\ge 8,0 \mathrm{cm}$

• to mulige trekanter: $4,0 \mathrm{cm}<BC<8,0 \mathrm{cm}$

Vi kjenner sinus til vinkel F og den motstående siden DE. Siden vi kjenner sinus til vinkel D, kan vi bestemme den motstående siden til vinkelen, EF. Sinussetningen gir

$\begin{array}{rcl}\frac{EF}{\sin D} & =& \frac{DE}{\sin F} |·\sin D\\ EF & =& \frac{DE}{\sin F}·\sin D\\ & =& \frac{5}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}·\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{25}{8}\sqrt{2}\end{array}$

Legg merke til at vi har brukt sinussetningen "opp ned" for å få litt enklere manuell regning. Det er greit, for hvis to brøker er like, er også de omvendte brøkene like.

Vi kjenner sinus til vinkel D og den motstående siden EF. Sinussetningen gir

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin E}{DF} & =& \frac{\sin D}{EF} |·DF\\ \sin E & =& \frac{\sin D}{EF}·DF\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}}{4}·5=\frac{5}{8}\sqrt{2}\end{array}$

Forholdet mellom $\sin D$ og $\sin E$ betyr at vi skal finne $\frac{\sin D}{\sin E}$. Sinussetningen med de to nevnte sinusene gir

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin D}{EF} & =& \frac{\sin E}{DF} |·\frac{EF}{\sin E}\\ \frac{\sin D}{\cancel{EF}}·\frac{\cancel{EF}}{\sin E} & =& \frac{\cancel{\sin E}}{DF}·\frac{EF}{\cancel{\sin E}}\\ \frac{\sin D}{\sin E} & =& \frac{EF}{DF}\\ & =& \frac{5}{9}\end{array}$

Sinussetningen med de to nevnte sidene gir

$\begin{array}{rcl}\frac{DE}{\sin F} & =& \frac{DF}{\sin E} |·\frac{\sin F}{DF}\\ \frac{DE}{\cancel{\sin F}}·\frac{\cancel{\sin F}}{DF} & =& \frac{\cancel{DF}}{\sin E}·\frac{\sin F}{\cancel{DF}}\\ \frac{DE}{DF} & =& \frac{\sin F}{\sin E}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{2}{5}}}{{\displaystyle \frac{3}{5}}}=\frac{2·5}{5·3}=\frac{2}{3}\end{array}$

Vi klarer oss uten hjelpemidler hvis vi husker de eksakte verdiene til $\sin 30°$ og $\sin 45°$. Vi bruker sinussetningen og får

$\begin{array}{rcl}\frac{BC}{\sin 30°}& = & \frac{AB}{\sin 45°}\\ \frac{BC}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}& =& \frac{5}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}\\ 2BC& =& \frac{2·5·\sqrt{2}}{\sqrt{2}·\sqrt{2}}\\ BC& =& \frac{5\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Vi bruker sinussetningen og får

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin B}{AC}& = & \frac{\sin A}{BC}\\ \frac{\sin B}{2}& =& \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{3}\\ \sin B& =& \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}·2}{3}=\frac{1}{2}\\ & & \\ B& =& 30° \vee B=180°-30°=150°\end{array}$

Siden $\sin A=\frac{3}{4}>\frac{1}{2}$, må vinkel A være større enn 30°. Da kan vi ikke bruke den andre løsningen siden vinkelsummen blir større enn 180°.

Vi får at vinkel B er 30°.

For å finne $\sin B$ trenger vi den motstående siden AC. Pytagorassetningen gir

$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2$

Vi har også at

$\begin{array}{rcl}\sin A & =& \frac{2}{3}=\frac{CD}{AC}\\ CD & =& \frac{2}{3}AC\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}A{C}^2 & =& A{D}^2+{\left(\frac{2}{3}AC\right)}^2\\ A{C}^2 & =& {\sqrt{20}}^2+\frac{4}{9}A{C}^2\\ \frac{9}{9}A{C}^2-\frac{4}{9}A{C}^2 & =& 20\\ \frac{5}{9}A{C}^2 & =& 20\\ A{C}^2 & =& 20·\frac{9}{5}=36\\ AC & =& 6 \vee \cancel{AC=-6}\end{array}$

Sinussetningen gir videre at

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin B}{AC} & =& \frac{\sin A}{BC}\\ \sin B & =& \frac{\sin A}{BC}·AC=\frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{5}·6=\frac{4}{5}\end{array}$