Arealsetningen for trekanter. Enhetssirkelen

$\begin{array}{rcl}\cos 130° & \approx & -0,643\\ \sin 130° & \approx & 0,766\\ \tan 130° & =& \frac{\sin 130°}{\cos 130°}\approx \frac{0,766}{-{\displaystyle 0,643}}=-1,1912\approx -1,191\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\cos 90° & =& 0\\ \sin 90° & =& 1\end{array}$

Siden $\cos 90°=0$ og $\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}$, kan vi ikke finne noen verdi for $\tan 90°$.

Vi bruker GeoGebra-arket og finner at $\sin 60°=\sin 120°\approx 0,866$.

Vi har at $60°+120°=180°$. Det betyr at disse vinklene er supplementvinkler.

Siden vinklene er supplementvinkler, har de alltid samme sinusverdi.

Vi bruker figuren og finner at $\cos 30°\approx 0,866$ og $\cos 150°\approx -0,866$. De har altså cosinusverdier som har like stor absoluttverdi, men med motsatt fortegn.

Vi har at $30°+150°=180°$. Det betyr at disse vinklene er supplementvinkler. Det kan vi også se av de to cosinusverdiene.

Vi har at $\cos 30°=\sin 60°\approx 0,866$ og $\sin 20°=\cos 70°\approx 0,342$. Vi har at summen av vinklene er 90 grader. Vi har alltid at $u+v=90°\Rightarrow \sin u=\cos v$.

Vi bruker arealsetningen for trekanter:

$\begin{array}{rcl}T & =& \frac{1}{2} AB·AC·\sin A\\ & =& \frac{1}{2}40·30·\sin 37,0°\end{array}$

$T=361 {\mathrm{m}}^2$.

Vi løser i GeoGebra:

Arealet er $25 {\mathrm{cm}}^2$.

Vi løser i GeoGebra:

Arealet er 9,5.

Vi løser i GeoGebra:

Arealet er 13.

Vi bruker definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra:

$\cos A = \frac{AB}{AD}$

$\angle A=50,8°$.

Vi bruker definisjonen på sinus for å finne BD:

$\begin{array}{rcl}\sin A & =& \frac{BD}{AD}\\ BD & =& AD·\sin A\end{array}$

$BD=6,7$.

Her kunne vi også ha regnet ut ved hjelp av pytagorassetningen.

Vi bruker definisjonen på cosinus til å finne BC:

$\begin{array}{rcl}\sin B & =& \frac{BC}{BD}\\ BC & =& BD·\sin B\end{array}$

$BC=4,7$.

Vi bruker definisjonen på sinus til å finne CD:

$\begin{array}{rcl}\sin B & =& \frac{CD}{BD}\\ CD & =& BD·\sin B\end{array}$

$CD=4,8$.

Her kunne vi også ha brukt pytagorassetningen.

$\frac{1}{2}AB·BD+\frac{1}{2}BC·CD=\frac{1}{2}\left(5,5·6,7+4,7·4,8\right)=29,70\approx 29,7$

Arealet av firkanten er $29,7$.

Vi bruker arealsetningen:

$\begin{array}{rcl}T & =& \frac{1}{2}·AB·AC·\sin A\\ 2 & =& \frac{1}{2}·4·3·\sin A\\ \sin A & =& \frac{1}{3}\end{array}$

Vi løser i GeoGebra og får at vinkel A kan være $19,5°$. Vi husker at to vinkler kan ha samme sinusverdi, og finner supplementvinkelen:

$180°-19,5°=160,5°$

Vinkel A er altså enten 19,5 grader eller 160,5 grader.

Alternativ løsning: Vi kan løse en likning i GeoGebra:

Her får vi begge løsningene med det samme, men vi ser at vi må runde av svarene våre.

Kommentar til CAS-bildet: I linje 2 har vi her hentet svaret i linje 1 ved å klikke på det. Så trykker vi på knappen for numerisk utregning.

Vi setter opp arealsetningen for de to trekantene:

Venstre trekant:

$A=\frac{1}{2}·5·5·\sin 132°$

Høyre trekant:

$A=\frac{1}{2}·5·5·\sin 50°$

Vi har at $\sin 132°=\sin (180°-132°)=\sin 48°$.

Vi har at $\sin 50°>\sin 48°$.

Dermed får vi at $\frac{1}{2}·5·5·\sin 132°<\frac{1}{2}·5·5·\sin 50°$.

Altså har den høyre trekanten størst areal.

AB og AC har vinkel A som mellomliggende vinkel. Dermed kan vi ta utgangspunkt i arealsetningen. Vi løser i CAS:

Vi får at $AB=8$.