Arealsetningen for trekanter. Enhetssirkelen

Sinus, cosinus og tangens til stumpe vinkler

Til nå har vi jobbet med trigonometriske verdier til vinkler som er mindre enn 90 grader, ved å se på forholdet mellom sider i rettvinklede trekanter. Men vinkler som er større enn 90 grader, har også sine sinus-, cosinus- og tangensverdier. Disse kan vi ikke regne ut på samme måte, siden vi ikke kan finne større vinkler enn 90 grader i en rettvinklet trekant. Vi skal nå se på en generell definisjon av de trigonometriske verdiene som gjelder for alle vinkler.

Enhetssirkelen

For å finne trigonometriske verdier til alle vinkler bruker vi det vi kaller enhetssirkelen. Vi starter med å tegne en vinkel v som er mindre enn 90 grader. Vi lar venstre vinkelbein få lengden 1 og bli til hypotenusen i en rettvinklet trekant. Vi nedfeller normalen på høyre vinkelbein og får en rettvinklet trekant med hosliggende katet lik a og motstående katet lik b:

Vi ser nå at vi får

$\begin{array}{rcl}\sin v& = & \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{b}{1}=b \\ & & \\ \cos v& =& \frac{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{a}{1}=a\\ & & \\ \tan v& = & \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggende} \mathrm{katet}}=\frac{b}{a}\end{array}$

Denne trekanten setter vi inn i et koordinatsystem. Toppunktet til vinkelen ligger i origo, og vinkelens høyre vinkelbein blir liggende langs x-aksen. Vi tegner en sirkel med radius lik 1 og sentrum i origo. Vi kaller punktet der venstre vinkelbein skjærer sirkelen, for vinkelpunktet P. Vi observerer at koordinatene til punktet P er (a, b), som tilsvarer lengden på de to katetene.

Denne sirkelen kaller vi for enhetssirkelen. Ved hjelp av denne sirkelen kan vi lese av trigonometriske verdier for alle vinkler. Vi observerer at koordinatene (a, b) til vinkelpunktet P tilsvarer $\cos v$ og $\sin v$ slik at $a=\cos v$ og $b=\sin v$. Vi får også at $\tan v=\frac{b}{a}=\frac{\sin v}{\cos v}$ så lenge $\cos v\ne 0$

Prøv selv: Dra i glidebryteren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor.

Last ned simuleringen her hvis den ikke vises nedenfor.

• Simulering sinus og cosinus(GGB)

🤔 Tenk over: Hva kan du si om trigonometriske verdier til vinkler som er større enn 90 grader?

To vinkler – samme sinusverdi

Det interaktive GeoGebra-arket nedenfor viser enhetssirkelen med to punkter P₁ og P₂. Strålen fra origo til P₁ danner vinkelen 𝑣 med den positive delen av x-aksen, mens strålen fra origo til P₂ danner vinkelen 𝑢 med samme akse. Da kan vi skrive opp koordinatene til de to punktene ved hjelp av cosinus og sinus til de to vinklene som vist i figuren.

Dra i glidebryteren på figuren for å endre på vinkel 𝑣. Vi minner om at begge vinklene 𝑢 og 𝑣 måles i forhold til den positive delen av x-aksen.

Last ned simuleringen her hvis den ikke vises nedenfor.

• Simulering supplementvinkler(GGB)

Siden$u+v=180°$, er $v=180°-u$. Når denne sammenhengen er oppfylt, kaller vi u og v for supplementvinkler.

🤔 Tenk over: Er du enig i at vinklene u og v i det interaktive GeoGebra-arket over er til sammen 180 grader og har samme sinusverdi? Hva skjer med cosinusverdiene til u og v?

På oppgavesiden skal du få utforske sammenhengene mellom sinus- og cosinusverdier til supplementvinkler mer:

Oppgaveside: Arealsetningen for trekanter. Enhetssirkelen

Arealsetningen for trekanter

En trekant er entydig bestemt dersom vi kjenner to sider og vinkelen mellom disse to sidene. Ved hjelp av sinus til vinkelen kan vi regne ut arealet til trekanten med arealsetningen.

Vi skal finne arealet av et trekantet lekeområde ABC der AB er 60 m, AC er 50 m, og vinkel A er 57 grader.

Vi kjenner arealformelen for en trekant:$T=\frac{g·h}{2}$.

Her kjenner vi ikke høyden i trekanten.

🤔 Tenk over: Kan du regne ut høyden slik at du kan finne arealet av trekanten?

Utledning av arealsetningen

Vi kan finne høyden i en trekant uttrykt ved den motstående vinkelen og en av sidene i trekanten ved å bruke definisjonen på sinus i rettvinklede trekanter. Vi kan da lage en generell formel for arealet av en trekant når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Vi ser at høyden i trekanten, h, deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Vi ser på trekanten som har b som hypotenus. Vi finner et uttrykk for h:

$\begin{array}{rcl}\sin A& = & \frac{h}{b}\\ h& =& b·\sin A\end{array}$

Nå bruker vi den generelle formelen for arealet av en trekant og setter inn uttrykket vi fant for h.

Vi får da at

$\begin{array}{rcl} T& = & \frac{1}{2}·c·h\\ & =& \frac{1}{2}·c·b·\sin A\end{array}$

Tilsvarende sammenheng finner vi dersom vi nedfeller høyden fra A til BC og fra B til AC.

Vi kan nå regne ut arealet av lekeområdet direkte med denne sammenhengen:

$T=\frac{1}{2}·60·50·\sin 57°=1 258\approx 1 260$

Arealet av lekeområdet er $1 260 {\mathrm{m}}^2$.

Hva hvis vinkelen vi kjenner, er større enn 90 grader?

🤔 Tenk over: Kan vi bruke formelen over uansett hvor stor vinkelen mellom de to aktuelle sidene er?

Vi ser på en trekant hvor vinkelen u mellom de to sidene p og q er større enn 90 grader, slik som figuren til venstre nedenfor. Vi har også lagd en hjelpefigur der vi har tegnet inn høyden i trekanten når vi har valgt p som grunnlinje.

Vi kan ved hjelp av hjelpefiguren sette opp et uttrykk for høyden h i trekanten ut ifra vinkelen v og siden q:

$\sin v=\frac{h}{q} \Rightarrow h=q \sin v$

Vi har dermed at arealet av trekanten blir

$T=\frac{1}{2}p·h=\frac{1}{2}p·q \sin v$

Vi har nå uttrykt arealet ved hjelp av vinkel v, men denne vinkelen er ikke en av vinklene i trekanten. Vi vil ha uttrykt arealet ved hjelp av vinkel u. Vi ser at $u+v=180° \Rightarrow v=180°-u$. Vinklene 𝑢 og 𝑣 i trekanten er dermed supplementvinkler som har samme sinusverdi. Det betyr at vi har $\sin v=\sin u$.

Arealet av trekanten blir da

$T=\frac{1}{2}p·h=\frac{1}{2}p·q \sin v=\frac{1}{2}p·q \sin u$

Formelen for arealet vi kom fram til over, gjelder altså også her og dermed for alle trekanter.

Oppsummering

Generell definisjon på sinus, cosinus og tangens

$\cos v=$ x-koordinaten til P

$\sin v=$ y-koordinaten til P

$\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}, \cos v\ne 0$

Trigonometriske verdier for supplementvinkler

$\begin{array}{rcl}\sin u& = & \sin (180°-u)\\ \cos u& =& -\cos (180°-u)\end{array}$

Arealsetningen for trekanter

La 𝑢 være vinkelen mellom to sider p og q i en trekant.

Arealet av trekanten er gitt ved formelen

$T=\frac{1}{2}p·q \sin u$

Film om enhetssirkelen (lengde 4:38)