Fagstoff

Sinussetningen

Vi skal nå bli kjent med en setning som gjør oss i stand til å finne sidelengder og vinkler i trekanter som ikke er rettvinklede.

Utledning av sinussetningen

I trekanten A B C er vinkel B lik 60 grader. B C har lengden 3,0, og A C har lengden 5,5. Siden A B har betegnelsen liten c. Illustrasjon.

På teorisiden om arealsetningen viser vi at vi kan regne ut arealet av en vilkårlig trekant dersom vi vet to av sidene og den mellomliggende vinkelen.

🤔 Tenk over: Studer trekanten. Kan vi finne arealet av denne trekanten med arealsetningen?

Forklaring

Vi kan ikke bruke arealsetningen her siden den oppgitte vinkelen ikke ligger mellom de to oppgitte sidene. Vi må først finne enten siden c eller vinkel C.

Vi trenger flere sammenhenger mellom vinkler og sider i vilkårlige trekanter. Én av disse er sinussetningen.

Trekant med hjørner stor a, stor b og stor c og sider liten a, liten b og liten c slik at siden liten a er motstående side til hjørnet stor a, og tilsvarende. Illustrasjon.

Vi tar utgangspunkt i en vilkårlig trekant ABC der motstående side til A er a, og så videre, slik som på figuren.

🤔 Forklar hvorfor vi kan sette opp tre ulike uttrykk for arealet av denne trekanten.

Forklaring

Vi kan bruke arealsetningen og ta utgangspunkt i hver av de tre vinklene. Da får vi tre ulike uttrykk for arealet av trekanten:

arealsetningen med vinkel A som utgangspunkt: $\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A$
arealsetningen med vinkel B som utgangspunkt: $\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B$
arealsetningen med vinkel C som utgangspunkt: $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

Alle disse tre uttrykkene må være like siden det er én og samme trekant det er snakk om.

Dette gir oss følgende sammenheng:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A & = & \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \end{array}$

Ved å multiplisere med 2 og dele med $(a \cdot b \cdot c)$ får vi skrevet denne sammenhengen litt mer kompakt:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A & = & \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C | \cdot 2 \\ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A & = & 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \\ b \cdot c \cdot \sin A & = & a \cdot c \cdot \sin B = a \cdot b \cdot \sin C | : (a \cdot b \cdot c) \\ \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{a \cdot b \cdot c} & = & \frac{a \cdot c \cdot \sin B}{a \cdot b \cdot c} = \frac{a \cdot b \cdot \sin C}{a \cdot b \cdot c} \\ \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{a \cdot b \cdot c} & = & \frac{a \cdot c \cdot \sin B}{a \cdot b \cdot c} = \frac{a \cdot b \cdot \sin C}{a \cdot b \cdot c} \\ \frac{\sin A}{a} & = & \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \end{array}$

Resultatet kalles sinussetningen. Denne gjelder for alle trekanter!

🤔 Tenk over: Hva betyr sinussetningen i praksis?

Forklaring

Sinussetningen sier at forholdet mellom sinus til én av vinklene i en trekant og lengden av den motstående siden er konstant.

Finne ukjent vinkel med sinussetningen

Nå kan vi gå tilbake til trekanten ABC øverst på siden.

🤔 Tenk over: Ved hjelp av sinussetningen kan vi beregne en av de ukjente størrelsene i trekanten. Hvilken?

Vi må først se om vi har oppgitt en vinkel og den motstående siden til vinkelen. Det har vi, for vi kjenner vinkel B og den motstående siden, som er 5,5. Den siste kjente størrelsen er siden BC, som er motstående side til vinkel A. Det betyr at vi kan regne ut vinkel A slik:

$\begin{array}{rcl} \frac{\sin A}{a} & = & \frac{\sin B}{b} \\ \frac{\sin A}{3, 0} & = & \frac{\sin 60 °}{5, 5} \end{array}$

Denne likningen kan vi løse med CAS.

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet sin parentes A gradsymbol parentes slutt delt på 3,0 er lik sin parentes 60 gradsymbol parentes slutt delt på 5,5. Svaret med Løs er A er lik to uttrykk som vi finner tilnærmet verdi til, i neste linje. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er A er lik 360 k 1 pluss 28,19 og A er lik 360 k 1 pluss 151,81. Skjermutklipp.

Vi minner om at når GeoGebra gir løsninger med $k_{1}$ på denne måten, betyr det at $k_{1}$ kan være hvilket som helst helt tall. Dette gir uendelig mange løsninger. Men vinkel A kan ikke være hva som helst.

Vi ser på den første løsningen. Når $k_{1} = 0$ , får vi at $A = 28, 2 °$ . Ingen andre verdier for $k_{1}$ gir mulig løsning for vinkel A. Den andre løsningen gir ingen mulige verdier for vinkel A. $k_{1} = 0$ gir at $A = 151, 2 °$ , men det er ingen mulig løsning for vinkel A.

🤔 Tenk over: Hvorfor kan ikke vinkel A være 151,2°?

Forklaring

Dersom vinkel A er 151,2°, blir summen av vinkel A og vinkel B større enn 180°. Det er ikke mulig i en trekant.

Slike vurderinger må vi alltid gjøre når vi finner ukjente vinkler med sinussetningen.

Dersom vi bruker sinussetningen til å finne en ukjent side, slipper vi slike vurderinger.

🤔 Tenk over: Hvordan kan vi gå fram videre hvis vi ønsker å regne ut arealet av trekanten?

Framgangsmåte

Vi slo fast øverst på siden at vi måtte ha enten vinkel C eller den motstående siden c for å kunne regne ut arealet. Vi har fortsatt ikke funnet noen av disse, men nå kan vi enkelt regne ut vinkel C siden vi kjenner de to andre vinklene i trekanten. Og da kan vi regne ut arealet med arealsetningen med utgangspunkt i vinkel C.

Sinussetningen

I en vilkårlig trekant ABC gjelder

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden av motstående side er lik for alle vinklene i trekanten.

Trigonometri

Utledning av sinussetningen

Finne ukjent vinkel med sinussetningen

Sinussetningen