Fagstoff

Sinussetninga

Vi skal no bli kjende med ei setning som gjer oss i stand til å finne sidelengder og vinklar i trekantar som ikkje er rettvinkla.

Utleiing av sinussetninga

I trekanten A B C er vinkel B lik 60 gradar. B C har lengda 3,0, og A C har lengda 5,5. Sida A B har nemninga liten c. Illustrasjon.

På teorisida om arealsetninga viser vi at vi kan rekne ut arealet av ein vilkårleg trekant dersom vi veit to av sidene og den mellomliggande vinkelen.

🤔 Tenk over: Studer trekanten. Kan vi finne arealet av denne trekanten med arealsetninga?

Forklaring

Vi kan ikkje bruke arealsetninga her sidan den gitte vinkelen ikkje ligg mellom dei to gitte sidene. Vi må først finne anten sida c eller vinkel C.

Vi treng fleire samanhengar mellom vinklar og sider i vilkårlege trekantar. Éin av desse er sinussetninga.

Trekant med hjørne stor a, stor b og stor c og sider liten a, liten b og liten c slik at sida liten a er motståande side til hjørnet stor a, og tilsvarande. Illustrasjon.

Vi tek utgangspunkt i ein vilkårleg trekant ABC der motståande side til A er a, og så vidare, slik som på figuren.

🤔 Forklar kvifor vi kan setje opp tre ulike uttrykk for arealet av denne trekanten.

Forklaring

Vi kan bruke arealsetninga og ta utgangspunkt i kvar av dei tre vinklane. Då får vi tre ulike uttrykk for arealet av trekanten:

arealsetninga med vinkel A som utgangspunkt: $\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A$
arealsetninga med vinkel B som utgangspunkt: $\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B$
arealsetninga med vinkel C som utgangspunkt: $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

Alle desse tre uttrykka må vere like sidan det er éin og same trekant det er snakk om.

Dette gir oss denne samanhengen:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A & = & \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \end{array}$

Ved å multiplisere med 2 og dele med $(a \cdot b \cdot c)$ får vi skrive denne samanhengen litt meir kompakt:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A & = & \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C | \cdot 2 \\ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A & = & 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \\ b \cdot c \cdot \sin A & = & a \cdot c \cdot \sin B = a \cdot b \cdot \sin C | : (a \cdot b \cdot c) \\ \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{a \cdot b \cdot c} & = & \frac{a \cdot c \cdot \sin B}{a \cdot b \cdot c} = \frac{a \cdot b \cdot \sin C}{a \cdot b \cdot c} \\ \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{a \cdot b \cdot c} & = & \frac{a \cdot c \cdot \sin B}{a \cdot b \cdot c} = \frac{a \cdot b \cdot \sin C}{a \cdot b \cdot c} \\ \frac{\sin A}{a} & = & \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \end{array}$

Resultatet kallar vi sinussetninga. Denne gjeld for alle trekantar!

🤔 Tenk over: Kva betyr sinussetninga i praksis?

Forklaring

Sinussetninga seier at forholdet mellom sinus til éin av vinklane i ein trekant og lengda av den motståande sida er konstant.

Finne ukjend vinkel med sinussetninga

No kan vi gå tilbake til trekanten ABC øvst på sida.

🤔 Tenk over: Ved hjelp av sinussetninga kan vi berekne ein av dei ukjende storleikane i trekanten. Kva for ein?

Vi må først sjå om vi har gitt ein vinkel og den motståande sida til vinkelen. Det har vi, for vi kjenner vinkel B og den motståande sida, som er 5,5. Den siste kjende storleiken er sida BC, som er motståande side til vinkel A. Det betyr at vi kan rekne ut vinkel A slik:

$\begin{array}{rcl} \frac{\sin A}{a} & = & \frac{\sin B}{b} \\ \frac{\sin A}{3, 0} & = & \frac{\sin 60 °}{5, 5} \end{array}$

Denne likninga kan vi løyse med CAS.

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er det skrive sin parentes A gradsymbol parentes slutt delt på 3,0 er lik sin parentes 60 gradsymbol parentes slutt delt på 5,5. Svaret med Løys er A er lik to uttrykk som vi finn tilnærma verdi til, i neste linje. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er A er lik 360 k 1 pluss 28,19 og A er lik 360 k 1 pluss 151,81. Skjermutklipp.

Vi minner om at når GeoGebra gir løysingar med $k_{1}$ på denne måten, betyr det at $k_{1}$ kan vere eit vilkårleg heilt tal. Dette gir uendeleg mange løysingar. Men vinkel A kan ikkje vere kva som helst.

Vi ser på den første løysinga. Når $k_{1} = 0$ , får vi at $A = 28, 2 °$ . Ingen andre verdiar for $k_{1}$ gir mogleg løysing for vinkel A. Den andre løysinga gir ingen moglege verdiar for vinkel A. $k_{1} = 0$ gir at $A = 151, 2 °$ , men det er inga mogleg løysing for vinkel A.

🤔 Tenk over: Kvifor kan ikkje vinkel A vere 151,2°?

Forklaring

Dersom vinkel A er 151,2°, blir summen av vinkel A og vinkel B større enn 180°. Det er ikkje mogleg i ein trekant.

Slike vurderingar må vi alltid gjere når vi finn ukjende vinklar med sinussetninga.

Dersom vi bruker sinussetninga til å finne ei ukjend side, slepp vi slike vurderingar.

🤔 Tenk over: Korleis kan vi gå fram vidare dersom vi ønsker å rekne ut arealet av trekanten?

Framgangsmåte

Vi slo fast øvst på sida at vi måtte ha anten vinkel C eller den motståande sida c for å kunne rekne ut arealet. Vi har framleis ikkje funne nokon av desse, men no kan vi enkelt rekne ut vinkel C sidan vi kjenner dei to andre vinklane i trekanten. Og då kan vi rekne ut arealet med arealsetninga med utgangspunkt i vinkel C.

Sinussetninga

I ein vilkårleg trekant ABC gjeld

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Forholdet mellom sinus til ein vinkel og lengda av motståande side er lik for alle vinklane i trekanten.

Trigonometri

Utleiing av sinussetninga

Finne ukjend vinkel med sinussetninga

Sinussetninga