Cosinussetninga

Utleiing av cosinussetninga

🤔 Studer trekanten. Er det mogleg å rekne ut den motståande sida a til vinkel A med sinussetninga?

For å kunne bruke sinussetninga må vi kjenne ein vinkel og den motståande sida. Det gjer vi ikkje her. Vi kan heller ikkje bruke pytagorassetninga på trekanten sidan han ikkje er rettvinkla.

🤔 Tenk over: Er oppgåva mogleg å løyse? Eller sagt på ein annan måte: Er trekanten eintydig bestemd?

Vi manglar framleis ein samanheng mellom sider og vinklar – den vi kallar cosinussetninga.

Vi tek utleiinga i to omgangar.

Spisse trekantar

I ein spiss trekant er alle vinklane mindre enn 90 gradar, slik som trekanten ABC nedanfor.

I trekanten har vi markert høgda h (normalen) frå C ned på sida c (eller AB). Linjestykket frå fotpunktet til normalen bort til A kallar vi x. Då blir resten av linjestykket AB lik $c-x$. Høgda h deler trekanten i to rettvinkla trekantar. Då kan vi bruke pytagorassetninga på begge trekantane.

Den høgre trekanten

Pytagorassetninga gir at

$\begin{array}{rcl}{a}^2& = & h^2+(c-x{)}^2\\ & =& h^2+c^2-2cx+x^2\\ & =& h^2+x^2+c^2-2·c·x\end{array}$

Den venstre trekanten

Pytagorassetninga på den venstre trekanten gir

$h^2+x^2=b^2$

Vi kan derfor erstatte $x^2+h^2$ i uttrykket for den høgre trekanten med $b^2$. Vi får

$a^2=b^2+c^2-2·c·x$

Dersom vi no kan finne ein samanheng med x som gjer at vi kan erstatte x med nokre av sidene eller vinklane i trekanten, er vi i mål. Vi har at

$\cos A=\frac{x}{b}$

som vidare gir at $x=b·\cos A$. Då får vi

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& b^2+c^2-2bc\cos A\end{array}$

Vi kan gjere den same utleiinga med trekanten dreidd rundt slik at vinkel B eller C hamnar nedst til venstre. Då vil vi ende opp med tilsvarande uttrykk der anten $\cos B$ eller $\cos C$ inngår. Sjå oppsummeringa nedst. Vi har no vist at uttrykket over gjeld for alle vinklane i ein spiss trekant.

Stumpe trekantar

Ein stump trekant er ein trekant der éin av vinklane er større enn 90 gradar.

Dersom vi dreier trekanten slik at den stumpe vinkelen kjem på toppen, vil utleiinga bli som for spisse trekantar. Det vi må sjekke, er at samanhengen over òg gjeld når den stumpe vinkelen A er plassert nedst, for då fell normalen frå C på AB utanfor trekanten.

I trekanten nedanfor er vinkel A stump. Vi feller ned normalen frå C på forlenginga av AB og kallar normalen h som før.

🤔 Tenk over: Kva for to rettvinkla trekantar har vi no?

Vi bruker pytagorassetninga på den store rettvinkla trekanten (heile figuren) med sider h, $c+x$ og a.

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& h^2+{\left(c+x\right)}^2\\ & =& h^2+c^2+2cx+x^2\\ & =& h^2+x^2+c^2+2·c·x\end{array}$

Så bruker vi pytagorassetninga på den vesle rettvinkla trekanten (delar av figuren) med sider h, x og b. Då får vi

$h^2+x^2=b^2$

Igjen kan vi erstatte $h^2+x^2$ med $b^2$ og får

$a^2=b^2+c^2+2·c·x$

For å eliminere x bruker vi at

$\cos \left(180°-A\right)=\frac{x}{b}$

Her skulle vi helst ha hatt cosinus til A åleine. Vi bruker samanhengen at

$\begin{array}{rcl}\cos \left(180°-A\right)& = & -\cos A\end{array}$

Då får vi

$\begin{array}{rcl}-\cos A & =& \frac{x}{b}\\ x & =& -b·\cos A\end{array}$

Vi set inn for x og får

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& b^2+c^2+2c·\left(-b \cos A\right)\\ & =& b^2+c^2-2bc\cos A\end{array}$

Dette er det same som vi fekk då vinkel A var mindre enn 90 gradar. Resultatet kallar vi cosinussetninga.

🤔 Tenk over: Kva skjer dersom vinkel A er lik 90 gradar?

Vi har no vist at cosinussetninga gjeld for alle vinklar i alle typar trekantar. Akkurat som med sinussetninga kan vi bruke cosinussetninga til å finne både sider og vinklar.

Finne ukjend side med cosinussetninga

No kan vi gå tilbake til problemstillinga vi hadde øvst. Kan vi bruke cosinussetninga til å rekne ut sida a? Svaret på det er ja.

Vi bruker varianten av cosinussetninga med vinkel A sidan det er den vinkelen som er gitt, og vi løyser med CAS i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& b^2+c^2-2bc \cos A\\ a^2 & =& 3,5^2+5,5^2-2·3,5·5,5·\cos 35°\end{array}$

Vi ser bort frå den negative løysinga og får at $a=3,3$.

Finne ukjend vinkel med cosinussetninga

Figuren viser ein trekant ABC.

Rekn ut vinkel B når du veit at sidene i trekanten er 3,3 cm, 3,5 cm og 5,5 cm.

Løysing

Vi bruker varianten av cosinussetninga med vinkel B. a i formelen er 3,3 cm, b er 3,5 cm, og c er 5,5 cm. Vi får igjen ei likning som vi løyser med GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}{b}^2 & =& a^2+c^2-2ac·\cos B\\ 3,5^2 & =& 3,3^2+5,5^2-2·3,3·5,5·\cos B\end{array}$

Den første løysinga gir anten negative vinklar eller vinklar som er altfor store. Den einaste moglege verdien for $k_1$ med den andre løysinga er at $k_1=0$, som gir $B=37,3°$.

Kommentar

Vi får alltid to sett med løysingar når vi løyser likningar med sinussetninga og cosinussetninga i CAS for å finne ein ukjend vinkel. Når det gjeld sinussetninga, har vi sett at vi må tenke gjennom om det kan vere to moglege løysingar. Når vi bruker cosinussetninga til å finne ein ukjend vinkel, er det alltid berre éi av løysingane som er mindre enn 180 gradar, derfor er vinkelen eintydig bestemd når vi bruker denne.

Cosinussetninga (den utvida pytagorassetninga)

I ein vilkårleg trekant ABC der vinkel A har motståande side a og det er tilsvarande for dei andre vinklane, gjeld

$a^2= b^2+c^2-2bc\cos A$

Vi kan òg skrive setninga på følgande to andre måtar:

$\begin{array}{rcl}{b}^2 & =& a^2+c^2- 2ac\cos B \\ & & \\ c^2 & =& a^2+b^2- 2ab\cos C\end{array}$