Arealsetninga for trekantar. Einingssirkelen

Sinus, cosinus og tangens til stumpe vinklar

Til no har vi jobba med trigonometriske verdiar til vinklar som er mindre enn 90 gradar, ved å sjå på forholdet mellom sider i rettvinkla trekantar. Men vinklar som er større enn 90 gradar, har òg sine sinus-, cosinus- og tangensverdiar. Desse kan vi ikkje rekne ut på same måte, sidan vi ikkje kan finne større vinklar enn 90 gradar i ein rettvinkla trekant. Vi skal no sjå på ein generell definisjon av dei trigonometriske verdiane som gjeld for alle vinklar.

Einingssirkelen

For å finne trigonometriske verdiar til alle vinklar bruker vi det vi kallar einingssirkelen. Vi startar med å teikne ein vinkel v som er mindre enn 90 gradar. Vi lar venstre vinkelbein få lengda 1 og bli til hypotenusen i ein rettvinkla trekant. Vi feller ned normalen på høgre vinkelbein og får ein rettvinkla trekant med hosliggande katet lik a og motståande katet lik b:

Vi ser no at vi får

$\begin{array}{rcl}\sin v& = & \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{b}{1}=b \\ & & \\ \cos v& =& \frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{a}{1}=a\\ & & \\ \tan v& = & \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{b}{a}\end{array}$

Denne trekanten set vi inn i eit koordinatsystem. Toppunktet til vinkelen ligg i origo, og det høgre vinkelbeinet til vinkelen blir liggande langs x-aksen. Vi teiknar ein sirkel med radius lik 1 og sentrum i origo. Vi kallar punktet der venstre vinkelbein skjer sirkelen, for vinkelpunktet P. Vi observerer at koordinatane til punktet P er (a, b), som svarer til lengda på dei to katetane.

Denne sirkelen kallar vi for einingssirkelen. Ved hjelp av denne sirkelen kan vi lese av trigonometriske verdiar for alle vinklar. Vi observerer at koordinatane (a, b) til vinkelpunktet P svarer til $\cos v$ og $\sin v$ slik at $a=\cos v$ og $b=\sin v$. Vi får òg at $\tan v=\frac{b}{a}=\frac{\sin v}{\cos v}$ så lenge $\cos v\ne 0$

Prøv sjølv: Dra i glidebrytaren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedanfor.

Last ned simuleringa her om ho ikkje blir vist nedanfor.

• Simulering sinus og cosinus(GGB)

🤔 Tenk over: Kva kan du seie om trigonometriske verdiar til vinklar som er større enn 90 gradar?

To vinklar – same sinusverdi

Det interaktive GeoGebra-arket nedanfor viser einingssirkelen med to punkt P₁ og P₂. Strålen frå origo til P₁ dannar vinkelen 𝑣 med den positive delen av x-aksen, mens strålen frå origo til P₂ dannar vinkelen 𝑢 med same akse. Då kan vi skrive opp koordinatane til dei to punkta ved hjelp av cosinus og sinus til dei to vinklane som vist i figuren.

Dra i glidebrytaren på figuren for å endre på vinkel 𝑣. Vi minner om at begge vinklane 𝑢 og 𝑣 blir målt i forhold til den positive delen av x-aksen.

Last ned simuleringa her om ho ikkje blir vist nedanfor.

• Simulering supplementvinklar(GGB)

Sidan$u+v=180°$, er $v=180°-u$. Når denne samanhengen er oppfylt, kallar vi u og v for supplementvinklar.

🤔 Tenk over: Er du einig i at vinklane u og v i det interaktive GeoGebra-arket over er til saman 180 gradar og har samme sinusverdi? Kva skjer med cosinusverdiane til u og v?

På oppgåvesida skal du få utforske samanhengane mellom sinus- og cosinusverdiar til supplementvinklar meir:

Oppgåveside: Arealsetninga for trekantar. Einingssirkelen

Arealsetninga for trekantar

Ein trekant er eintydig bestemd dersom vi kjenner to sider og vinkelen mellom desse to sidene. Ved hjelp av sinus til vinkelen kan vi rekne ut arealet til trekanten med arealsetninga.

Vi skal finne arealet av eit trekanta leikeområde ABC der AB er 60 m, AC er 50 m, og vinkel A er 57 gradar.

Vi kjenner arealformelen for ein trekant:$T=\frac{g·h}{2}$.

Her kjenner vi ikkje høgda i trekanten.

🤔 Tenk over: Kan du rekne ut høgda slik at du kan finne arealet av trekanten?

Utleiing av arealsetninga

Vi kan finne høgda i ein trekant uttrykt ved den motståande vinkelen og ei av sidene i trekanten ved å bruke definisjonen på sinus i rettvinkla trekantar. Vi kan då lage ein generell formel for arealet av ein trekant når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dei.

Vi ser at høgda i trekanten, h, deler trekanten i to rettvinkla trekantar. Vi ser på trekanten som har b som hypotenus. Vi finn eit uttrykk for h:

$\begin{array}{rcl}\sin A& = & \frac{h}{b}\\ h& =& b·\sin A\end{array}$

No bruker vi den generelle formelen for arealet av ein trekant og set inn uttrykket vi fann for h.

Vi får då at

$\begin{array}{rcl} T& = & \frac{1}{2}·c·h\\ & =& \frac{1}{2}·c·b·\sin A\end{array}$

Tilsvarande samanheng finn vi dersom vi feller ned høgda frå A til BC og frå B til AC.

Vi kan no rekne ut arealet av leikeområdet direkte med denne samanhengen:

$T=\frac{1}{2}·60·50·\sin 57°=1 258\approx 1 260$

Arealet av leikeområdet er $1 260 {\mathrm{m}}^2$.

Kva om vinkelen vi kjenner, er større enn 90 gradar?

🤔 Tenk over: Kan vi bruke formelen over uansett kor stor vinkelen mellom dei to aktuelle sidene er?

Vi ser på ein trekant der vinkelen u mellom dei to sidene p og q er større enn 90 gradar, slik som figuren til venstre nedanfor. Vi har òg laga ein hjelpefigur der vi har teikna inn høgda i trekanten når vi har valt p som grunnlinje.

Vi kan ved hjelp av hjelpefiguren setje opp eit uttrykk for høgda h i trekanten ut ifrå vinkelen v og sidan q:

$\sin v=\frac{h}{q} \Rightarrow h=q \sin v$

Vi har dermed at arealet av trekanten blir

$T=\frac{1}{2}p·h=\frac{1}{2}p·q \sin v$

Vi har no uttrykt arealet ved hjelp av vinkel v, men denne vinkelen er ikkje ein av vinklane i trekanten. Vi vil ha uttrykt arealet ved hjelp av vinkel u. Vi ser at $u+v=180° \Rightarrow v=180°-u$. Vinklane 𝑢 og 𝑣 i trekanten er dermed supplementvinklar som har same sinusverdi. Det betyr at vi har $\sin v=\sin u$.

Arealet av trekanten blir då

$T=\frac{1}{2}p·h=\frac{1}{2}p·q \sin v=\frac{1}{2}p·q \sin u$

Formelen for arealet vi kom fram til over, gjeld altså òg her og dermed for alle trekantar.

Oppsummering

Generell definisjon på sinus, cosinus og tangens

$\cos v=$ x-koordinaten til P

$\sin v=$ y-koordinaten til P

$\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}, \cos v\ne 0$

Trigonometriske verdiar for supplementvinklar

$\begin{array}{rcl}\sin u& = & \sin (180°-u)\\ \cos u& =& -\cos (180°-u)\end{array}$

Arealsetninga for trekantar

La 𝑢 vere vinkelen mellom to sider p og q i ein trekant.

Arealet av trekanten er gitt ved formelen

$T=\frac{1}{2}p·q \sin u$

Film om einingssirkelen (lengde 4:38)