Cosinussetningen

Utledning av cosinussetningen

🤔 Studer trekanten. Er det mulig å regne ut den motstående siden a til vinkel A med sinussetningen?

For å kunne bruke sinussetningen må vi kjenne en vinkel og den motstående siden. Det gjør vi ikke her. Vi kan heller ikke bruke pytagorassetningen på trekanten siden den ikke er rettvinklet.

🤔 Tenk over: Er oppgaven mulig å løse? Eller sagt på en annen måte: Er trekanten entydig bestemt?

Vi mangler fortsatt en sammenheng mellom sider og vinkler – den vi kaller cosinussetningen.

Vi tar utledningen i to omganger.

Spisse trekanter

I en spiss trekant er alle vinklene mindre enn 90 grader, slik som trekanten ABC nedenfor.

I trekanten har vi markert høyden h (normalen) fra C ned på siden c (eller AB). Linjestykket fra fotpunktet til normalen bort til A kaller vi x. Da blir resten av linjestykket AB lik $c-x$. Høyden h deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Da kan vi bruke pytagorassetningen på begge trekantene.

Den høyre trekanten

Pytagorassetningen gir at

$\begin{array}{rcl}{a}^2& = & h^2+(c-x{)}^2\\ & =& h^2+c^2-2cx+x^2\\ & =& h^2+x^2+c^2-2·c·x\end{array}$

Den venstre trekanten

Pytagorassetningen på den venstre trekanten gir

$h^2+x^2=b^2$

Vi kan derfor erstatte $x^2+h^2$ i uttrykket for den høyre trekanten med $b^2$. Vi får

$a^2=b^2+c^2-2·c·x$

Hvis vi nå kan finne en sammenheng med x som gjør at vi kan erstatte x med noen av sidene eller vinklene i trekanten, er vi i mål. Vi har at

$\cos A=\frac{x}{b}$

som videre gir at $x=b·\cos A$. Da får vi

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& b^2+c^2-2bc\cos A\end{array}$

Vi kan gjøre samme utledning med trekanten dreid rundt slik at vinkel B eller C havner nederst til venstre. Da vil vi ende opp med tilsvarende uttrykk der enten $\cos B$ eller $\cos C$ inngår. Se oppsummeringen nederst. Vi har nå vist at uttrykket over gjelder for alle vinklene i en spiss trekant.

Stumpe trekanter

En stump trekant er en trekant der én av vinklene er større enn 90 grader.

Dersom vi dreier trekanten slik at den stumpe vinkelen kommer på toppen, vil utledningen bli som for spisse trekanter. Det vi må sjekke, er at sammenhengen over også gjelder når den stumpe vinkelen A er plassert nederst, for da faller normalen fra C på AB utenfor trekanten.

I trekanten nedenfor er vinkel A stump. Vi feller ned normalen fra C på forlengelsen av AB og kaller normalen h som før.

🤔 Tenk over: Hvilke to rettvinklede trekanter har vi nå?

Vi bruker pytagorassetningen på den store rettvinklede trekanten (hele figuren) med sider h, $c+x$ og a.

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& h^2+{\left(c+x\right)}^2\\ & =& h^2+c^2+2cx+x^2\\ & =& h^2+x^2+c^2+2·c·x\end{array}$

Så bruker vi pytagorassetningen på den lille rettvinklede trekanten (deler av figuren) med sider h, x og b. Da får vi

$h^2+x^2=b^2$

Igjen kan vi erstatte $h^2+x^2$ med $b^2$ og får

$a^2=b^2+c^2+2·c·x$

For å eliminere x bruker vi at

$\cos \left(180°-A\right)=\frac{x}{b}$

Her skulle vi helst ha hatt cosinus til A alene. Vi bruker sammenhengen at

$\begin{array}{rcl}\cos \left(180°-A\right)& = & -\cos A\end{array}$

Da får vi

$\begin{array}{rcl}-\cos A & =& \frac{x}{b}\\ x & =& -b·\cos A\end{array}$

Vi setter inn for x og får

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& b^2+c^2+2c·\left(-b \cos A\right)\\ & =& b^2+c^2-2bc\cos A\end{array}$

Dette er det samme som vi fikk da vinkel A var mindre enn 90 grader. Resultatet kalles cosinussetningen.

🤔 Tenk over: Hva skjer dersom vinkel A er lik 90 grader?

Vi har nå vist at cosinussetningen gjelder for alle vinkler i alle typer trekanter. Akkurat som med sinussetningen kan vi bruke cosinussetningen til å finne både sider og vinkler.

Finne ukjent side med cosinussetningen

Nå kan vi gå tilbake til problemstillingen vi hadde øverst. Kan vi bruke cosinussetningen til å regne ut siden a? Svaret på det er ja.

Vi bruker varianten av cosinussetningen med vinkel A siden det er den vinkelen som er oppgitt, og vi løser med CAS i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& b^2+c^2-2bc \cos A\\ a^2 & =& 3,5^2+5,5^2-2·3,5·5,5·\cos 35°\end{array}$

Vi ser bort fra den negative løsningen og får at $a=3,3$.

Finne ukjent vinkel med cosinussetningen

Figuren viser en trekant ABC.

Regn ut vinkel B når du vet at sidene i trekanten er 3,3 cm, 3,5 cm og 5,5 cm.

Løsning

Vi bruker varianten av cosinussetningen med vinkel B. a i formelen er 3,3 cm, b er 3,5 cm, og c er 5,5 cm. Vi får igjen en likning som vi løser med GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}{b}^2 & =& a^2+c^2-2ac·\cos B\\ 3,5^2 & =& 3,3^2+5,5^2-2·3,3·5,5·\cos B\end{array}$

Den første løsningen gir enten negative vinkler eller vinkler som er altfor store. Den eneste mulige verdien for $k_1$ med den andre løsningen er at $k_1=0$, som gir $B=37,3°$.

Kommentar

Vi får alltid to sett med løsninger når vi løser likninger med sinussetningen og cosinussetningen i CAS for å finne en ukjent vinkel. Når det gjelder sinussetningen, har vi sett at vi må tenke gjennom om det kan være to mulige løsninger. Når vi bruker cosinussetningen til å finne en ukjent vinkel, er det alltid bare én av løsningene som er mindre enn 180 grader, derfor er vinkelen entydig bestemt når vi bruker denne.

Cosinussetningen (den utvidede pytagorassetningen)

I en vilkårlig trekant ABC der vinkel A har motstående side a og det er tilsvarende for de andre vinklene, gjelder

$a^2= b^2+c^2-2bc\cos A$

Vi kan også skrive setningen på følgende to andre måter:

$\begin{array}{rcl}{b}^2 & =& a^2+c^2- 2ac\cos B \\ & & \\ c^2 & =& a^2+b^2- 2ab\cos C\end{array}$