Sinussetninga

Vi bruker sinussetninga.

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin A}{a} & =& \frac{\sin B}{b}\\ \frac{\sin 39°}{a} & =& \frac{\sin 59°}{3,0}\end{array}$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Vi får at sida $a=2,2 \mathrm{cm}$.

Vi bruker sinussetninga.

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin A}{a} & =& \frac{\sin B}{b}\\ \frac{\sin 110,5°}{8,5} & =& \frac{\sin 19,8°}{b}\end{array}$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Vi får at $b=3,1 \mathrm{cm}$.

Den motståande sida til vinkelen på 99 gradar har lengda 5,0. Sida x er motståande side til den andre gitte vinkelen på 29,2°. Då kan vi setje opp ei likning ved hjelp av sinussetninga.

$\frac{\sin 99°}{5,0}=\frac{\sin 29,2°}{x}$

Løysing med CAS i GeoGebra:

Vi får at $x=2,5$.

Vi startar med å rekne ut den siste vinkelen ved å bruke at vinkelsummen i trekantar er 180 gradar. Så finn vi den motståande sida til vinkelen på 81,7 gradar med sinussetninga. Til slutt bruker vi sinussetninga igjen for å finne den siste ukjende sida, sida mellom dei to gitte vinklane, ved å bruke den siste vinkelen vi rekna ut først. Vi løyser oppgåva med CAS i GeoGebra.

• Den tredje vinkelen er 33,8°.

• Den vassrette sida nedst er 7,8.

• Sida til høgre er 4,4.

Nedanfor har vi skrive på måla på trekanten for å gjere det tydeleg.

Vi bruker sinussetninga.

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin A}{a} & =& \frac{\sin B}{b}\\ \frac{\sin A}{4.0} & =& \frac{\sin 59°}{6.0}\end{array}$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Vi må sjekke kva verdiar for $k_1$ som gir moglege verdiar for vinkel A. I den første løysinga får vi $A=34,9°$ når vi set $k_1=0$. Den andre løysinga gir ingen moglege vinklar sidan vinkel A ikkje kan vere 145,2° fordi då blir vinkelsummen i trekanten større enn 180°.

Vi får at $A=34,9°$.

Den motståande sida til vinkelen på 68,1 gradar har lengda 7,1. Sida med lengde 7,6 er motståande side til den vinkelen vi skal finne. Då kan vi setje opp ei likning ved hjelp av sinussetninga.

$\frac{\sin 68,1°}{7,1}=\frac{\sin v}{7,6}$

Løysing med CAS i GeoGebra:

For den første løysinga for v får vi at $v=83,3°$ når $k_1=0$. For den andre løysinga for v får vi at $v=96,7°$ når $k_1=0$. I linje 3 har vi sjekka at dette òg er ein mogleg løysing.

Når det er to moglege vinklar v i trekanten betyr det at det er to moglege trekantar som passar til beskrivinga i oppgåva. Nedanfor har vi teikna ei skisse av korleis det ser ut.

Tenk deg at du set passaren i punkt B og slår ein sirkel med radius 6,0 cm. Du vil då skjere venstre vinkelbein til vinkel A på to stader, nemleg i $C_{1 }$ og $C_2$.

Du får då to løysingstrekantar $AB{C}_{1 }$ og $AB{C}_2$.

Vi bruker sinussetninga.

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin A}{BC} & =& \frac{\sin C}{AB}\\ \frac{\sin 30°}{6,0} & =& \frac{\sin C}{8,0}\end{array}$

Vi løyser likninga i GeoGebra.

Vi får moglege løysingar når $k_1=0$ i begge løysingsalternativa. Løysingane er

$\angle C_1=41,8°$ og $\angle C_2=138,2°$

Vi teiknar ei skisse av trekanten.

Vinkel C er 90°, og vi kan bruke definisjonen av sinus som gjeld for rettvinkla trekantar. Vi får

$\begin{array}{rcl}\sin A & =& \frac{BC}{AB}\\ \sin 30° & =& \frac{BC}{8,0}\\ \frac{1}{2} & =& \frac{BC}{8}\\ 4 ,0 & =& BC\end{array}$

Vi får at $BC=4,0 \mathrm{cm}$.

(Vi kunne òg ha brukt direkte at den minste kateten er halvparten av hypotenusen i ein trekant der vinklane er 30°, 60° og 90°.)

Bruk sinussetninga slik som i oppgåve b), men behald BC som ukjend.

Vi bruker sinussetninga.

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin A}{BC} & =& \frac{\sin C}{AB}\\ \frac{\sin 30°}{BC} & =& \frac{\sin C}{8,0} |·8,0\\ 8,0·\frac{1}{2BC} & =& \sin C\\ \frac{4}{BC} & =& \sin C\end{array}$

For at denne likninga skal ha ei løysing for vinkel C, må vi krevje at

$\begin{array}{rcl}\frac{4}{BC} & \le & 1 |·BC\\ 4 & \le & BC\end{array}$

I denne ulikskapen er det greitt å multiplisere med den ukjende BC sidan vi krev at BC er positiv.

For at det skal vere mogleg å rekne ut ein vinkel C, må BC vere større enn eller lik 4 cm. Det betyr at dersom lengda av BC er kortare enn 4,0 cm, vil vi ikkje ha nokon løysingar.

🤔 Tenk over: Korleis kan vi forklare dette resultatet geometrisk?

Forklaring: Dersom BC er mindre enn 4 cm, vil ikkje sida rekke opp til venstre vinkelbein til vinkel $A$. Det er fordi den kortaste avstanden frå B opp til venstre vinkelbein til A er 4 cm. Sjå figuren nedanfor.

Frå d) har vi at det er ingen trekant dersom BC er mindre enn 4 cm. Frå c) har vi at det er éin mogleg trekant dersom BC er 4 cm, for då rekk BC akkurat opp til det venstre vinkelbeinet til vinkel A. Vi får to moglege trekantar dersom BC er større enn 4,0 cm, men det gjeld berre til BC blir like lang som AB. Så dersom BC er større enn eller lik AB, er det igjen berre éin mogleg trekant. Vi oppsummerer:

• ingen trekant: $BC<4,0 \mathrm{cm}$

• éin mogleg trekant: $BC=4,0 \mathrm{cm} \vee BC\ge 8,0 \mathrm{cm}$

• to moglege trekantar: $4,0 \mathrm{cm}<BC<8,0 \mathrm{cm}$

Vi kjenner sinus til vinkel F og den motståande sida DE. Sidan vi kjenner sinus til vinkel D, kan vi bestemme den motståande sida til vinkelen, EF. Sinussetninga gir

$\begin{array}{rcl}\frac{EF}{\sin D} & =& \frac{DE}{\sin F} |·\sin D\\ EF & =& \frac{DE}{\sin F}·\sin D\\ & =& \frac{5}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}·\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{25}{8}\sqrt{2}\end{array}$

Legg merke til at vi har brukt sinussetninga "opp ned" for å få litt enklare manuell rekning. Det er greitt, for dersom to brøkar er like, er òg dei omvende brøkane like.

Vi kjenner sinus til vinkel D og den motståande sida EF. Sinussetninga gir

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin E}{DF} & =& \frac{\sin D}{EF} |·DF\\ \sin E & =& \frac{\sin D}{EF}·DF\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}}{4}·5=\frac{5}{8}\sqrt{2}\end{array}$

Forholdet mellom $\sin D$ og $\sin E$ betyr at vi skal finne $\frac{\sin D}{\sin E}$. Sinussetninga med dei to nemnde sinusane gir

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin D}{EF} & =& \frac{\sin E}{DF} |·\frac{EF}{\sin E}\\ \frac{\sin D}{\cancel{EF}}·\frac{\cancel{EF}}{\sin E} & =& \frac{\cancel{\sin E}}{DF}·\frac{EF}{\cancel{\sin E}}\\ \frac{\sin D}{\sin E} & =& \frac{EF}{DF}\\ & =& \frac{5}{9}\end{array}$

Sinussetninga med dei to nemnde sidene gir

$\begin{array}{rcl}\frac{DE}{\sin F} & =& \frac{DF}{\sin E} |·\frac{\sin F}{DF}\\ \frac{DE}{\cancel{\sin F}}·\frac{\cancel{\sin F}}{DF} & =& \frac{\cancel{DF}}{\sin E}·\frac{\sin F}{\cancel{DF}}\\ \frac{DE}{DF} & =& \frac{\sin F}{\sin E}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{2}{5}}}{{\displaystyle \frac{3}{5}}}=\frac{2·5}{5·3}=\frac{2}{3}\end{array}$

Vi klarer oss utan hjelpemiddel dersom vi hugsar dei eksakte verdiane til $\sin 30°$ og $\sin 45°$. Vi bruker sinussetninga og får

$\begin{array}{rcl}\frac{BC}{\sin 30°}& = & \frac{AB}{\sin 45°}\\ \frac{BC}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}& =& \frac{5}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}\\ 2BC& =& \frac{2·5·\sqrt{2}}{\sqrt{2}·\sqrt{2}}\\ BC& =& \frac{5\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Vi bruker sinussetninga og får

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin B}{AC}& = & \frac{\sin A}{BC}\\ \frac{\sin B}{2}& =& \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{3}\\ \sin B& =& \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}·2}{3}=\frac{1}{2}\\ & & \\ B& =& 30° \vee B=180°-30°=150°\end{array}$

Sidan $\sin A=\frac{3}{4}>\frac{1}{2}$, må vinkel A vere større enn 30°. Då kan vi ikkje bruke den andre løysinga sidan vinkelsummen blir større enn 180°.

Vi får at vinkel B er 30°.

For å finne $\sin B$ treng vi den motståande sida AC. Pytagorassetninga gir

$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2$

Vi har òg at

$\begin{array}{rcl}\sin A & =& \frac{2}{3}=\frac{CD}{AC}\\ CD & =& \frac{2}{3}AC\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}A{C}^2 & =& A{D}^2+{\left(\frac{2}{3}AC\right)}^2\\ A{C}^2 & =& {\sqrt{20}}^2+\frac{4}{9}A{C}^2\\ \frac{9}{9}A{C}^2-\frac{4}{9}A{C}^2 & =& 20\\ \frac{5}{9}A{C}^2 & =& 20\\ A{C}^2 & =& 20·\frac{9}{5}=36\\ AC & =& 6 \vee \cancel{AC=-6}\end{array}$

Sinussetninga gir vidare at

$\begin{array}{rcl}\frac{\sin B}{AC} & =& \frac{\sin A}{BC}\\ \sin B & =& \frac{\sin A}{BC}·AC=\frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{5}·6=\frac{4}{5}\end{array}$