Delvis integrasjon

$$ \int e^x·4x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=4x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=4$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·4x dx & =& e^x·4x-\int e^x·4 dx\\ & =& 4x{e}^x-4\int e^{x}dx\\ & =& 4x{e}^x-4e^x+C\end{array}$$

I dette tilfellet blir begge faktorane forenkla ved derivasjon. Då må vi heller sjå på kva for ein av funksjonane som er enklast å integrere.

$$ \int 2x·\ln x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\ln x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

• $$ u^{\text{'}}=2x$$, som gir $$ u=x^2$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{v}{2x}·\stackrel{u^{\text{'}}}{\ln x} dx& =& x^2·\ln x-\int x^2·\frac{1}{x}dx\\ & =& x^2·\ln x-\int x dx\\ & =& x^2·\ln x-\frac{1}{2}{x}^2+C\end{array}$$

$$ \int e^{\frac{x}{2}}·\left(2x-1\right)dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\left(2x-1\right)$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{\frac{x}{2}}$$, som gir $$ u=2e^{\frac{x}{2}}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^{\frac{x}{2}}·\left(2x-1\right)dx & =& 2e^{\frac{x}{2}}·\left(2x-1\right)-\int 2e^{\frac{x}{2}}·2 dx\\ & =& \left(4x-2\right)e^{\frac{x}{2}}-4\int e^{\frac{x}{2}}dx\\ & =& \left(4x-2\right)e^{\frac{x}{2}}-4·2e^{\frac{x}{2}}+C\\ & =& e^{\frac{x}{2}}\left(4x-2-8\right) +C\\ & =& e^{\frac{x}{2}}\left(4x-10\right) +C\end{array}$$

$$ \int x^2·\ln x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\ln x$$ som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

• $$ u^{\text{'}}=x^2$$ som gir $$ u=\frac{1}{3}{x}^3$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{rcl}\int x^2·\ln x dx & =& \frac{1}{3}{x}^3·\ln x-\int \frac{1}{3}{x}^3·\frac{1}{x}dx\\ & =& \frac{1}{3}{x}^3·\ln x-\frac{1}{3}\int x^{2}dx\\ & =& \frac{1}{3}{x}^3·\ln x-\frac{1}{3}·\frac{1}{3}{x}^3+C\\ & =& \frac{1}{3}{x}^3·\ln x-\frac{1}{9}{x}^3+C\end{array}$$

For å gå frå ein faktor til to faktorar utan å endre verdien kan vi multiplisere med 1, slik at integralet blir $$ \int \ln x·1 dx$$.

$$ \int 1·\ln x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\ln x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

• $$ u^{\text{'}}=1$$, som gir $$ u=x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{u^{\text{'}}}{1}·\stackrel{v}{\ln x }dx & =& x\ln x-\int x·\frac{1}{x}dx\\ & =& x\ln x-\int 1 dx\\ & =& x\ln x-x+C\end{array}$$

Hugs at $$ {\left(\ln x\right)}^2$$ kan skrivast som to faktorar: $$ \ln x·\ln x$$.

$$ \int {\left(\ln x\right)}^{2}dx=\int \ln x·\ln x dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=\ln x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

• $$ u^{\text{'}}=\ln x$$, som gir $$ x\ln x-x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \ln x·\ln x dx & =& \left(x\ln x-x\right)·\ln x-\int \left(x\ln x-x\right)·\frac{1}{x}dx\\ & =& \left(x\ln x-x\right)·\ln x-\int \left(\ln x-1\right)dx\\ & =& x{\left(\ln x\right)}^2-x\ln x- \left(x\ln x-x-x\right)+C\\ & =& x{\left(\ln x\right)}^2-2x\ln x+2x+C\end{array}$$

$$ \int e^x·x^{2}dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x^2$$, som gir $$ v^{\text{'}}=x$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·x^{2}dx & =& e^x·x^2-\int e^x·x dx\end{array}$$

Den nye integranden er enklare enn den vi starta med, men framleis ikkje så enkel at vi kan integrere direkte.

Frå første "runde" med delvis integrasjon har vi

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·x^{2}dx & =& e^x·x^2-\int e^x·x dx\end{array}$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=1$$

• $$ u^{\text{'}}=e^x$$, som gir $$ u=e^x$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon på nytt og får

$$ \begin{array}{rcl}\int e^x·x^{2}dx & =& e^x·x^2-\int e^x·x dx\\ & =& e^x·x^2-\left(e^x·x-\int e^x·1 dx\right)\\ & =& e^x·x^2-e^x·x+2e^x+C\\ & =& e^x\left(x^2-x+2\right)+C\end{array}$$

Delvis integrasjon handlar om å forenkle det som skal integrerast. Ofte skjer dette ved at ein av faktorane blir forenkla ved derivasjon.

I vårt tilfelle inneheld integranden faktorane $$ e^x$$ og $$ x^2$$.

• $$ e^x$$ kan ikkje forenklast verken ved integrasjon eller derivasjon.

• $$ x^2$$ krev to "rundar" med derivasjon for at resultatet blir 1, og ein faktor lik 1 (eller ein annan konstant) vil som regel medføre at integrasjonen kan gjennomførast.

Dette betyr at vi kan sjå frå start at vi må gjennomføre to rundar med delvis integrasjon for å bestemme integralet.

Her må du bruke delvis integrasjon tre gonger.

$$ \int x^3·e^{2x}dx$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x^3$$, som gir $$ v^{\text{'}}=3x^2$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{2x}$$, som gir $$ u=\frac{1}{2}{e}^{2x}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$$ \begin{array}{rcl}\int x^3·e^{2x}dx & =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·3x^{{}^2}dx\\ & =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{2}\int e^{2x}·x^{{}^2}dx\end{array}$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x^2$$, som gir $$ v^{\text{'}}=2x$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{2x}$$, som gir $$ u=\frac{1}{2}{e}^{2x}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon for andre gong og får

$$ \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{2}\int e^{2x}·x^{2}dx$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cl}=& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}·x^2-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·2x dx\right)\\ =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{2}\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·2x dx\end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$

Vi vel $$ v$$ og $$ u^{\text{'}}$$:

• $$ v=x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=1$$

• $$ u^{\text{'}}=e^{2x}$$, som gir $$ u=\frac{1}{2}{e}^{2x}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon for tredje gong og får

$$ \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{2}\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·2x dx$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{cl}=& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}·x-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}·1 dx\right)\\ =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{4}{e}^{2x}·x-\frac{3}{4}\int e^{2x}dx\\ =& \frac{1}{2}{e}^{2x}·x^3-\frac{3}{4}{e}^{2x}·x^2+\frac{3}{4}{e}^{2x}·x-\frac{3}{4}·\frac{1}{2}{e}^{2x}+C\\ =& e^{2x}\left(\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}\right)+C\end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$