Integrasjon ved variabelskifte

Når vi integrerer med variabelskifte, bruker vi kjerneregelen for derivasjon "baklengs".

For å kunne bruke denne metoden innfører vi ein ny skrivemåte for den deriverte, der vi bruker differensialane $$ dy$$ og $$ dx$$.

Gjennomsnittleg vekstfart frå eitt punkt på ein graf til eit anna punkt på grafen, er definert som $$ \frac{∆y}{∆x}$$ der $$ ∆x$$ er ei lita endring i $$ x$$-retning som inneber ei endring $$ ∆y$$ i $$ y$$-retning.

Den deriverte til ein funksjon $$ y=f\left(x\right)$$ i eit punkt er definert som den verdien den gjennomsnittlege vekstfarten går mot når $$ ∆x$$ går mot null:

$$ y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆y}{∆x} $$

Den deriverte til ein funksjon i eit punkt kan ut frå dette definerast som den momentane vekstfarten i punktet, eller stigingstalet til tangenten til grafen i punktet.

Differensialet $dx$ er ut frå dette ei lita endring i $$ x$$-retninga, mens differensialet $$ dy $$til funksjonen$$ y=f\left(x\right) $$er kor mykje stiginga til tangenten i punktet $$ x$$ blir endra med ei lita forandring $$ ∆x$$. (Hugs at $$ ∆y$$ er tilsvarande endring for funksjonen, mens både den deriverte og funksjonen blir endra i $$ x$$-retning med $$ dx=∆x$$.) Sjå figuren.

Dette betyr at den deriverte, som er stigingstalet til tangenten, no kan skrivast som

$$ y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{dy}{dx}$$

Det er vanleg å bruke variabelen $$ u$$ på uttrykket vi byter ut (substituerer). Derfor har vi at

$$ u^{\text{'}}=\frac{du}{dx}$$

Vi kan seie at $$ \frac{du}{dx}$$ angir den deriverte av $$ u$$ med omsyn på $$ x$$. Dette kan skrivast om til

$$ dx=\frac{du}{u^{\text{'}}}$$

I det vidare arbeidet skal vi behandle differensialane $$ du$$ og $dx$ som storleikar vi kan behandle algebraisk, det vil seie bruke i berekningar.

Integrasjon ved variabelskifte går ut på å forme om integranden, som er ein funksjon av $$ x$$, til ein funksjon av $$ u$$, ved å setje ein del av funksjonen lik $$ u$$. Det som er viktig når vi skal velje kva $$ u$$ skal vere, er at den deriverte av $$ u$$ må vere slik at han kan forkorte bort det som er igjen av $$ x$$ i uttrykket. Faktoren som blir sett lik $$ u$$, vil ofte vere faktoren med høgast grad, og han kan til dømes vere innhaldet i ein parentes, ein eksponent, radikanden (det som står under eit rotteikn) eller nemnaren i ein brøk, og $$ u$$ blir ofte angitt som "kjernen".

For å sjå korleis dette blir tek vi utgangspunkt i det følgande ubestemde integralet:

$$ \int 10x{\left(x^2+1\right)}^{4}dx $$

Vi ser at integranden er eit produkt av to faktorar, $$ 10x$$ og $$ {\left(x^2+1\right)}^4$$. Korleis blir integralet viss vi vel kjernen som $u=x^2+1$?

Kva blir den deriverte av kjernen $u=x^2+1$ ?

Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}u & =& x^2+1\\ \frac{du}{dx} & =& 2x\\ dx & =& \frac{du}{2x}\end{array}$$

Er det mogleg å forkorte bort $$ x$$ og utføre integrasjonen dersom vi erstattar $dx$ med $\frac{du}{2x}$ ?

Det at den deriverte av $x^2+1$ er $2x$, gjer at variabelen $x$ "forsvinn" i integranden, slik at integranden berre inneheld variabelen $u$. Dette er sjølve "nøkkelen" med metoden.

$\int \frac{3x+6}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx$

Vi set radikanden lik $$ u$$, som gir $u=x^2+4x+5$.

Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}{u}^{\text{'}}& = & \frac{du}{dx}=2x+4=2\left(x+2\right)\\ & & \\ dx& =& \frac{du}{2\left(x+2\right)}\end{array}$$

Vi set inn for $$ u$$ og $$ dx$$

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{3x+6}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx& = & \int \frac{3\left(x+2\right)}{\sqrt{x^2+4x+5}} dx\\ & & \\ & =& \int \frac{3\cancel{\left(x+2\right)}}{\sqrt{u}}·\frac{du}{2\cancel{\left(x+2\right)}}\\ & & \\ & =& \frac{3}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} du\end{array}$$

Her er ikkje den deriverte til kjernen nøyaktig lik $3x+6$, men begge uttrykka inneheld faktoren$$ x+2 $$. Denne kan forkortast vekk, og dermed "forsvinn" variabelen $x$ i integranden, slik poenget med metoden er.

Vi antideriverer og finn

$\begin{array}{rcl}\frac{3}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}} du& = & \frac{3}{2}\int u^{-\frac{1}{2}} du\\ & & \\ & =& \frac{3}{2}·\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}·u^{-\frac{1}{2}+1}+C\\ & & \\ & =& \frac{3}{2}·2·\sqrt{u}+C\\ & & \\ & =& 3\sqrt{x^2+4x+5}+C\end{array}$

Vi kan bruke variabelskifte saman med regelen om at $$ \begin{array}{c}\int \frac{1}{x} dx=\ln \left|x\right| , x\ne 0\end{array}$$ til å finne ein integrasjonsregel for $$ \begin{array}{c}\int \frac{1}{ax+b} dx\end{array}$$, der $a$ og $b$ er konstante tal.

$$ \int \frac{1}{ax+b} dx$$

$u=ax+b$

$$ \frac{du}{dx}=a$$, og dette gir $dx=\frac{du}{a}$.

Vi set inn for $$ u$$ og $$ dx$$, og vi kan no utføre integrasjonen:

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{1}{ax+b} dx& = & \int \frac{1}{u} \frac{du}{a}\\ & & \\ & =& \int \frac{1}{u}·\frac{1}{\cancel{a}}du\\ & & \\ & =& \frac{1}{a}\int \frac{1}{u} du\\ & & \\ & =& \frac{1}{a}\ln \left|u\right|+C\\ & & \\ & =& \frac{1}{a}\ln \left|ax+b\right|+C\end{array}$$