Omvend proporsjonalitet

Jo fleire som ryddar, jo kortare tid tek det. Tek det til dømes 2 timar for ein elev å rydde alt, vil det ta 1 time dersom det er 2 elevar som ryddar. Vidare vil dette ta 0,5 time dersom det er 4 elevar som ryddar og så vidare. Multipliserer vi talet på elevar med kor lang tid den enkelte eleven bruker, får vi alltid 2 timar. (Vi går ut frå at alle elevane ryddar like godt.)

Tida det tek å rydde, vil derfor vere omvendt proporsjonal med talet på elevar som ryddar.

Talet på pizzastykke per person multiplisert med talet på personar vil alltid bli talet på delstykke i tre pizzaer, med andre ord tre heile pizzaer. Produktet blir altså alltid det same.

Talet på deltakarar multiplisert med pris per deltakar er konstant. Då er storleikane omvendt proporsjonale. Vi ser òg at dersom talet på deltakarar blir dobla frå 8 til 16, blir prisen halvert per deltakar.

Proporsjonalitetskonstanten er 2 000.

Grafen viser at gjennomsnittsfarten då har vore 80 km/h.

Merk at vi bruker h (engelsk: "hour") som måleining for talet på timar.

Tidene når gjennomsnittsfarten er 70 km/h og 60 km/h er litt usikre sidan rutenettet i den grafiske framstillinga er ganske grovt.

Strekninga er fast på 40 km, så det må vere farten og tida som eventuelt kan vere omvendt proporsjonale storleikar.

Utvid tabellen frå oppgåve b) med ei rad der du multipliserer fart og tid.

Produktet $v·t$ er konstant lik 40. Farten og tida er omvendt proporsjonale storleikar.

Formelen $$ s=v·t$$ er samanhengen mellom strekning, fart og tid når farten er konstant. I den nedste rada i tabellen er produktet $v·t$ rekna ut for alle tala. Då får vi strekninga som skulle køyrast: 40 km. Dette stemmer med formelen.

$\begin{array}{rcl}s& = & v·t\\ & & \\ 40& =& 65·t\\ & & \\ \frac{40}{65}& =& \frac{\cancel{65}·t}{\cancel{65}}\\ & & \\ t& =& 0,615\end{array}$

Vi gjer om til minutt: $0,615 \mathrm{h}·60 \min /\mathrm{h}\approx 37 \min$

Det tek omtrent 37 minutt å køyre 40 km med ein fart på 65 km/h.

Kulene skal delast mellom 6 personar. Talet på kuler på kvar blir

$$ \frac{72}{6}=12$$

Vi gjer det same som i oppgåve a) og får

$$ N=\frac{72}{x}$$

Denne oppgåva kan løysast på fleire måtar. Du kan lage ein tabell slik som i dei andre oppgåvene på denne sida, men det enklaste er å rekne med formelen direkte.

For å undersøke om $$ N$$ og $$ x$$ er omvendt proporsjonale storleikar, må vi sjekke om produktet av dei er konstant. Dette gjer vi enklast på denne måten:

$$ N·x=\frac{72}{x}·x=\frac{72}{\cancel{x}}·\cancel{x}=72$$

Her har vi brukt at $$ N=\frac{72}{x}$$ i den første overgangen. Vi kan forkorte bort $$ x$$, og resultatet blir (det konstante) talet 72. Då får vi at $$ N$$ og $$ x$$ er omvendt proporsjonale storleikar.

Generelt vil det vere slik at når formelen er av typen $$ y=\frac{k}{x}$$ der $$ k$$ er konstant, vil alltid $$ x$$ og $$ y$$ vere omvendt proporsjonale storleikar.

Her må vi hugse på at klinkekulene skal delast med éin meir enn talet på venner. Dersom talet på venner er 2, blir talet på klinkekuler som kvar av dei får,

$$ \frac{72}{2+1}=\frac{72}{3}=24$$

Produktet av storleikane talet på venner $$ v$$ og talet på kuler $$ k$$ per person er ikkje konstant. Storleikane er derfor ikkje omvendt proporsjonale.

Først lagar vi ein formel for $$ k$$.

$$ k=\frac{72}{v+1}$$

Så må vi sjekke produktet av $$ k$$ og $$ v$$.

$$ k·v=\frac{72}{v+1}·v=\frac{72v}{v+1}$$

Vi får ikkje forkorta bort $$ v$$. Produktet vil derfor variere med verdien av $$ v$$ og er derfor ikkje konstant. Storleikane er derfor ikkje omvendt proporsjonale.