No skal du lage gode forklaringar på kva proporsjonalitet er. Oppgåvene kan løysast med digitale hjelpemiddel om du vil. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.
Oppgåve 1
Ein butikk tek 9,90 kroner per hg for smågodt.
a) Fyll ut resten av tabellen.
Mengde smågodt og pris
M, mengde smågodt (hg)
1
2
3
4
5
P, pris (kr)
9,90
P/M, forhold
9,90
Løysing
Først reknar vi ut kva prisen blir for dei ulike mengdene smågodt. For til dømes 2 hg smågodt betaler vi
Vi reknar ut forholdet mellom prisen på smågodtet og mengda ved å dividere (dele). Når mengda smågodt er 2 hg, får vi
19,80kr2hg=9,90kr/hg
Nedanfor er tabellen ferdig utfylt.
Mengde smågodt og pris
M, mengde smågodt (hg)
1
2
3
4
5
P, pris (kr)
9,90
19,80
29,70
39,60
49,50
P/M, forhold
9,90
9,90
9,90
9,90
9,90
b) Forklar kvifor mengda smågodt du kjøper, er proporsjonal med prisen.
Løysing
Mengda smågodt og prisen er proporsjonalestorleikar fordi forholdet mellom storleikane alltid er det same.
prismengdesmågodt=9,90
Vi ser også av tabellen i løysinga i a) at dersom vi doblar mengda smågodt, blir prisen dobla.
c) Kva er proporsjonalitetskonstanten?
Løysing
Proporsjonalitetskonstanten er 9,90 kr/hg, prisen per hektogram smågodt.
Oppgåve 2
Du kan finne omkrinsen av ein sirkel ved å bruke formelen O=π·d, der O er omkrinsen og d er diameteren i sirkelen.
a) Fyll ut resten av tabellen.
Diameter og omkrins i sirkel
d, diameter (meter)
1
2
3
4
5
O, omkrins (meter)
3,14
12,56
O/d,forhold
Løysing
Diameter og omkrins i sirkel
d, diameter (meter)
1
2
3
4
5
O, omkrins (meter)
3,14
6,28
9,42
12,56
15,70
O/d,forhold
3,14
3,14
3,14
3,14
3,14
b) Forklar kvifor omkrinsen og diameteren er proporsjonale storleikar.
Løysing
Omkrinsen og diameteren er proporsjonale storleikar fordi forholdet mellom omkrinsen og diameteren i ein sirkel er konstant.
c) Kva forholdstal er det alltid mellom omkrinsen og diameteren i ein sirkel? Er dette det same som proporsjonalitetskonstanten?
Løysing
Forholdstalet mellom omkrinsen og diameteren i ein sirkel er pi π≈3,14. Dette blir også proporsjonalitetskonstanten.
Oppgåve 3
Tidlegare kunne prisen for å sende ein SMS vere 0,49 kroner per melding.
a) Set opp ein tabell og rekn ut prisen P (kor mykje det kostar) for 20, 80, 150, 180 og 200 SMS-ar. Rekn òg ut forholdet mellom prisen og talet på SMS-ar.
Tal på SMS-ar og pris
x, talet på SMS-ar
20
80
150
180
200
P, pris (kr)
P/x, forhold
Løysing
Tal på SMS-ar og pris
x, talet på SMS-ar
20
80
150
180
200
P, pris (kr)
9,80
39,20
73,50
88,20
98,00
P/x, forhold
0,49
0,49
0,49
0,49
0,49
b) Forklar kvifor talet på SMS-ar og prisen er proporsjonale storleikar.
Løysing
Talet på SMS-ar og prisen er proporsjonale storleikar fordi forholdet mellom pris per SMS og talet på SMS-ar er konstant. Sjå tabellen i a).
c) Set opp ein formel som viser prisen P for x tal på SMS-ar.
Løysing
Vi må multiplisere (gonge) talet på SMS-ar x med prisen per SMS, 0,49:
P=0,49·x
d) Kva er proporsjonalitetskonstanten?
Løysing
Proporsjonalitetskonstanten er 0,49 kroner per SMS.
Oppgåve 4
Siri har lønt arbeid. Grafen nedanfor viser samanhengen mellom talet på timar ho arbeider, og den lønna ho får.
a) Les av grafen kor mange timar Siri har arbeidd når ho har tent 750 kroner.
Løysing
Vi startar på y-aksen der verdien er 750 kroner, går til høgre til vi treffer på linja, og går loddrett ned til vi treffer x-aksen. Sjå pilene på figuren nedanfor.
Siri har jobba i cirka 5 timar når ho har tent 750 kroner.
b) Les av på grafen kor mange timar ho har arbeidd når ho har tent 1 500 kroner.
Løysing
Ved å gjere som i oppgåve a) får vi at Siri har jobba i cirka 10 timar når ho har tent 1 500 kroner.
c) Les av på grafen kor stor lønte blir når ho har arbeidd 20 timar.
Løysing
Her gjer vi det motsette av kva vi har gjort i dei to førre oppgåvene. Vi startar i 20 på x-aksen, går loddrett oppover til vi treffer linja, og går deretter vassrett til venstre til vi treffer y-aksen. Sjå figuren nedanfor.
Vi får at Siri har tent 3 000 kroner når ho har arbeidd 20 timar.
d) Har Siri fast timelønn?
Løysing
Vi set opp ein tabell på tilsvarande måte som i dei førre oppgåvene og reknar ut forholdet mellom lønna og talet på timar. Til dømes blir forholdet mellom lønna og talet på timar når ho jobbar 5 timar
750kr5timar=150kr/time
Tal på timar og lønn
x, talet på timar
5
10
20
y, lønn
750
1 500
3 000
y/x, forhold
150
150
150
Timelønna til Siri er fast og lik 150 kroner per time.
e) Er talet på timar og lønna proporsjonale storleikar? Forklar kvifor, eventuelt kvifor ikkje.
Løysing
Forholdet mellom lønna og talet på timar er konstant. Då er storleikane lønn og talet på timar proporsjonale storleikar. Vi kan òg sjå det av grafen i oppgåva sidan grafen er ei rett linje gjennom origo.
f) Kva er proporsjonalitetskonstanten?
Løysing
Proporsjonalitetskonstanten er 150 kr/time, altså prisen per arbeidstime eller timelønna.
Oppgåve 5
Å leige ein elsparkesykkel kostar typisk 10 kroner i oppstartspris pluss 3 kroner per minutt han blir leigd.
Er talet på leigeminutt og prisen for leiga proporsjonale storleikar? Finn tre måtar å undersøke dette på, og kontrollar at alle tre gir det same resultatet.
Tips til oppgåva
Du kan gå fram på tre måtar:
Du kan lage ein tabell med nokre samhøyrande verdiar for talet på leigeminutt og prisen for leiga. Lag ein tredje kolonne og rekn ut forholdet mellom leigepris og talet på leigeminutt.
Du kan lage ein formel for leigeprisen y når du leiger sykkelen i x minutt. Teikn grafen til denne formelen (funksjonen) i GeoGebra, og studer forma på grafen.
Du kan bruke formelen direkte til å sjekke om forholdet mellom leigepris og talet på leigeminutt er konstant.
Løysing
Metode 1
Vi reknar ut prisen ved å multiplisere talet på minutt leigetid med prisen per minutt og legg til oppstartsprisen. Dersom vi til dømes leiger sykkelen i 5 minutt, blir prisen
5min·3kr/min+10kr=25kr
Leigetid og leigepris
x, leigetid (min)
5
10
15
20
y, leigepris (kr)
25
40
55
70
y/x, forhold (kr/min)
5,00
4,00
3,67
3,50
Vi ser at forholdet ikkje er konstant. Då er ikkje leigetida og leigeprisen proporsjonale storleikar.
Metode 2
Dersom vi leiger sykkelen i x minutt, blir formelen for leigeprisen y
y=x·3+10
etter utrekninga i metode 1. Vi skriv dette uttrykket rett inn i algebrafeltet i GeoGebra. Resultatet blir som på figuren nedanfor.
Vi får ei rett linje som ikkje går gjennom origo. Då er ikkje leigetida og leigeprisen proporsjonale storleikar.
Metode 3
I metode 1 rekna vi ut forholdet mellom samhøyrande verdiar for leigeprisen y og leigetida x. Vi kan gjere dette direkte med formelen.
yx=3x+10x=3xx+10x=3+10x
I den første overgangen har vi erstatta y med 3x+10. Resultatet av utrekninga er eit uttrykk der x inngår. Forholdet er dermed ikkje konstant, og storleikane leigetid og leigepris er ikkje proporsjonale storleikar.
Oppgåve 6
Musikkstrøymetenesta Spotify betaler (per hausten 2021) artistar cirka 0,0038 dollar per avspeling av eit spor. Forklar kvifor forholdet mellom inntekta til ein artist og talet på avspelingar er proporsjonalt.
(Her må du klare deg utan løysing.)
Oppgåve 7
Under koronapandemien vart det innført mange ulike smitteverntiltak. Til dømes måtte kor som ville øve, ta omsyn til ein del smittevernreglar. Desse reglane vart beskrivne i ein rettleiar for smittevern gitt ut av Norsk musikkråd. Den viktigaste regelen handla om nødvendig avstand mellom kormedlemmene i øvingslokalet.
Den første utgåva av smittevernrettleiaren hadde krav om at kvart kormedlem skulle ha 2 meter avstand framfor seg, bak seg og til sidene til neste person. Det betyr at kvar person trong 4m2 golvareal (kvifor?). I tillegg skulle det vere ein buffer for å gi god nok plass til koret. Det vart utarbeidd ein tabell som viste kor stort rom ein trong for kor av ulik storleik (tabellen er litt omarbeidd):
Koronatiltak i kor
Gruppe
Buffer ( m2)
+ 4 m2 per utøvar
Sum ( m2)
5
< 6 pers: 10
20
30
15
< 16 pers: 20
60
80
30
< 31 pers: 30
120
150
a) Lag ein tabell og rekn ut kor stort rom ein trong for eit kor på 9 personar, eit kor på 14 personar og eit kor på 28 personar.
Løysing
Tal på personar og tal på kvadratmeter
Talet på personar
9
14
28
Utrekning
20+9·4=20+36
20+14·4=20+56
30+28·4=30+112
Talet på kvadratmeter (m2)
56
76
142
b) Sjå på tabellen med løysinga på deloppgåve a). Er talet på kvadratmeter kora trong for å følge smittevernrettleiaren, proporsjonalt med talet på korsongarar?
Løysing
Nei. Vi kan mellom anna sjå at kvadratmetertalet ikkje aukar til det dobbelte når talet på korsongarar doblar seg frå 14 til 28.
Svaret over er nok. Alternativt kan vi utvide tabellen i løysinga i a) med ei ny rad og rekne ut forholdet mellom talet på kvadratmeter og talet på personar tilsvarande det som er gjort i oppgåvene over, og vi vil få ulike svar.
Tal på personar og tal på kvadratmeter
Talet på personar
9
14
28
Utrekning
20+9·4=20+36
20+14·4=20+56
30+28·4=30+112
Talet på kvadratmeter (m2)
56
76
142
Forhold talet på m2 og talet på personar
569=6,22
7614=5,43
14228=5,07
Forholdet er ikkje konstant, og talet på personar og talet på kvadratmeter er ikkje proporsjonale storleikar.
Etter nokre veker vart reglane mjuka opp litt, og det vart no krav om 1,5 meter avstand til sidene, men framleis 2 meter framover og bakover. Bufrane var dei same. Tabellen såg no slik ut:
Nye koronatiltak i kor
Gruppe
Buffer (m2)
+ 3 m2 per utøvar
Sum (m2)
5
< 6 pers: 10
15
25
15
< 16 pers: 20
45
65
30
< 31 pers: 30
90
120
50
< 51 pers: 30
150
180
-
> 50 pers: 30
-
-
c) Forklar kvifor talet på kvadratmeter kora no trong for å følge smittevernrettleiaren, ikkje er proporsjonalt med talet på korsongarar.
Løysing
Vi kan gjere som i den førre oppgåva og vise at talet på kvadratmeter ikkje doblar seg når talet på songarar doblar seg. Vi får direkte frå tabellen at når talet på korsongarar blir dobla frå 15 til 30, blir talet på kvadratmeter litt mindre enn dobla.
d) Kva må endrast i rettleiaren for at talet på kvadratmeter og talet på korsongarar skal vere proporsjonale storleikar?
Løysing
Det er kravet om buffer som gjer at storleikane ikkje er proporsjonale. Bufferen er eit tillegg som sjølv om det varierer litt, er fast for fleire ulike tal på kormedlemmer. Til dømes er det det same både for 10 og 15 kormedlemmer. Dersom kravet om buffer blir teke bort, vil storleikane vere proporsjonale fordi det vil vere eit fast tal kvadratmeter per korutøvar.
Oppgåve 8
Kva kan du om proporsjonalitet?
Nedlastbare filer
Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.