Modellering med kjend funksjon

Bedrifter som produserer og sel varer ønskjer ofte funksjonar som beskriv kostnader, inntekter og overskot ved produksjon og sal av eit visst tal på einingar.

Vi bruker gjerne funksjonar med namn $K$, $I$ og $O$ som modellar for å beskrive høvesvis kostnader, inntekter og overskot.

Overskot ved produksjon og sal av treningsapparat

Ved ei bedrift blir det produsert treningsapparat. Funksjonane $K$ og $I$ gitt ved

$\begin{array}{llll}K\left(x\right)=3x^2+150x+11 000& & & D_K=[0, 150]\\ & & & \\ I\left(x\right)=800x-2x^2& & & D_I=[0, 150]\end{array}$

kan brukast som modellar for kostnader og inntekter ved produksjon og sal av denne vara. $I\left(x\right)$ og $K\left(x\right)$ er høvesvis inntekter og kostnader gitt i kroner ved produksjon og sal av $x$ treningsapparat per veke.

Vi ønskjer å finne ut kor mange einingar som må produserast for å få størst mogleg overskot. Vi ønskjer òg å vite kva overskotet då blir.

Overskot er inntekter minus kostnader:

$\begin{array}{rcl}O\left(x\right)& = & I\left(x\right)-K\left(x\right)\\ & & \\ & =& 800x-2x^2-(3x^2+150x+11 000)\\ & & \\ & =& -5x^2+650x-11 000\end{array}$

For å berekne når overskotet blir størst mogleg, finn vi ekstremalpunktet til overskotsfunksjonen.

Overskotsfunksjonen er ein andregradsfunksjon. Andregradsleddet er negativt. Grafen til $O$ har då eit toppunkt. Den deriverte vil vere lik null i dette toppunktet.

Vi deriverer og får

$$ O^{\text{'}}\left(x\right)=-10x-650$$

Vi set den deriverte funksjonen lik null:

$$ \begin{array}{rcl}{O}^{\text{'}}\left(x\right)& = & 0 \\ -10x+650& =& 0\\ x& =& 65\end{array}$$

Ein produksjon på 65 treningsapparat per veke gir størst mogleg overskot:

$O\left(65\right)=-5·{65}^2+650·65-11 000=10 125$

Det maksimale overskotet blir på 10 125 kroner per veke.

Vi teiknar grafen til overskotsfunksjonen $O$ i det same koordinatsystemet som grafane til $K$ og $I$.

Toppunktet på grafen til $O$ viser det maksimale overskotet, som vi fann ved rekning.

Legg òg merke til at skjeringspunkta mellom grafane til $K$ og $I$ viser når overskotet er null.

Oppgåve

Bruk dobbeltderiverttesten til å kontrollere at overskotsfunksjonen har eit toppunkt.

Her skal vi analysere veksten til eit morelltre med utgangspunkt i ein funksjon som er ein matematisk modell for høgda til treet.

Jacob planta eit morelltre i 2006. Treet var 1 meter høgt då han planta det.

Funksjonen $h$ gitt ved

$$ h\left(x\right)=-0,003x^3+0,09x^2+1 , x\in \left[0, 20\right]$$

kan brukast som ein modell for å berekne høgda til treet dei neste 20 åra. $x$ er talet på år etter planting, og $h\left(x\right)$ gir høgda til treet i meter.

Vi ønskjer å finne ut kva år treet får den maksimale veksten sin, og kor stor veksten er då.

Vi vil finne dette både grafisk og ved rekning.

Grafisk løysing

For å få betre overseikt har vi teikna grafane til $$ h, h^{\text{'}} \mathrm{og} h^{\text{'}\text{'}}$$ i det same koordinatsystemet.

Grafen til $h$ viser høgda til treet $x$ år etter at det er planta. Grafen til $h^{\text{'}}$ viser kor fort treet veks.

Grafen til $h$ er brattast etter cirka 10 år. Då må treet ha den største veksten. Vi ser dette endå tydelegare ved å studere grafen til $h^{\text{'}}$. Den deriverte er jo nettopp vekstfarten. Vi ser at vekstfarten har ein maksimalverdi etter 10 år. Treet har den maksimale veksten sin når $h^{\text{'}}\left(x\right)$ har den største verdien sin. Vi ser grafisk at det er etter 10 år, og den årlege veksten er då 0,9 meter per år. Nedanfor har vi teikna eit forstørra bilete av grafen til $h^{\text{'}}$ og grafen til $$ h^{\text{'}\text{'}}$$.

Vi ser òg grafisk at $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$ er 0 etter 10 år. Det stadfestar at grafen til $h^{\text{'}}$ har eit toppunkt her, og grafen til $$ h$$ har eit vendepunkt.

Alle dei tre kurvene kan altså fortelje oss når treet får den maksimale veksten sin.

Når den dobbeltderiverte funksjonen er positiv, veks den deriverte funksjonen, og sjølve vekstkurva blir brattare og brattare.

Når den dobbeltderiverte funksjonen er negativ, minkar den deriverte funksjonen, og sjølve vekstkurva flatar ut.

Algebraisk løysing

Vi startar med å derivere $h\left(x\right)$.

$$ \begin{array}{rcl}h\left(x\right)& = & -0,003x^3+0,09x^2+1 , x\in \left[0, 20\right]\\ h^{\text{'}}\left(x\right)& =& -0,009x^2+0,18x\\ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)& =& -0,018x+0,18\end{array}$$

Så set vi $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=0$$ og finn moglege vendepunkt.

$$ \begin{array}{rcl}-0,018x+0,18& = & 0\\ x& =& \frac{0,18}{0,018}=10\end{array}$$

Vi testar $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$ ved å setje inn nokre $$ x$$-verdiar på begge sider av nullpunktet for den dobbeltderiverte.

$$ \begin{array}{rcl}{h}^{\text{'}\text{'}}\left(0\right) & =& -0,018·0+0,18=0,18>0\\ h^{\text{'}\text{'}}\left(20\right) & =& -0,018·20+0,18=-0,36+0,18=-0,18<0\end{array}$$

Vi teiknar forteiknslinja til den andrederiverte.

Forteiknslinja til $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$ viser at grafen til $$ h$$ har eit vendepunkt for  $$ x=10$$. Sidan $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)>0$$  når  $$ x<10$$, får vi at $h^{\text{'}}\left(x\right)$ har ein maksimalverdi etter 10 år. Det betyr at treet har maksimal vekst etter 10 år.

Vi kan òg finne kor stor veksten var etter 10 år:

$$ h^{\text{'}}\left(10\right)=-0,009·{10}^2+0,18·10=-0,9+1,8=0,9$$

Det betyr at veksten er 0,9 meter per år etter 10 år.

Løys oppgåva med CAS.

Løysing

Vi får det same resultatet som før.

Samanhengen mellom strekning, fart og akselerasjon kan beskrivast ved hjelp av derivasjon.

Når vi rører på oss, til dømes ved å gå, springe eller køyre bil, seier vi at vi flyttar oss ei strekning. Vi bruker ofte bokstaven $$ \mathit{s}$$ om strekninga vi flyttar oss.

Farten eller hastigheita er kor raskt vi flyttar oss, eller kor fort ei tilbakelagd strekning endrar seg. Farten er altså lik den deriverte til strekninga. Vi bruker gjerne bokstaven $v$ om farten. Akselerasjonen $a$ er kor raskt vi endrar farten, og akselerasjon er lik den deriverte til farten. Tida $t$ er her den variable. Dermed får vi $$ s\left(t\right), v\left(t\right) \mathrm{og} a\left(t\right)$$.

Thomas skal køyre ein tur med bilen sin. Strekninga han tilbakelegg i meter, $s\left(t\right)$, er gitt ved

$$ s\left(t\right)=-0,01t^3+0,3t^2+8t , t\in \left[0,10\right]$$

der $t$ er tida i sekund.

Vi vil finne tilbakelagd strekning, fart og akselerasjon etter 10 sekund:

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{ccccc}s\left(t\right)& =& -0,01t^3+0,3t^2+8t& & \\ v\left(t\right)& =& s^{\text{'}}\left(t\right)& =& -0,03t^2+0,6t+8\\ a\left(t\right)& =& s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)& =& -0,06t+0,6\\ & & & & \\ s\left(10\right)& =& -10+30+80& =& 100\\ v\left(10\right)& =& -0,03{\left(10\right)}^2+0,6\left(10\right)+8& =& -3+6+8=11\\ a\left(10\right)& =& -0,06\left(10\right)+0,6& =& -0,6+0,6=0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array} \\ \end{gathered}$$

Akselerasjonen er null etter 10 sekund. Akselerasjonsfunksjonen er lineær. Då viser

$$ a\left(9\right)=-0,06·9+0,6=0,06>0$$ og
$$ a\left(11\right)=-0,06·11+0,6=-0,06<0$$

at farten har den maksimale verdien sin etter 10 sekund.

$$ s\left(10\right)=100$$

viser at Thomas nådde den maksimale farten på 11 m/s etter ei strekning på 100 m.