FM-1
Ved ei bedrift blir det produsert treningsdressar. Leiinga ved bedrifta har funne ut at overskotet i kroner er gitt ved funksjonen , der
Kor mange treningsdressar er det mest lønnsamt for bedrifta å produsere per år, og kor stort blir overskotet då?
Løysing
"Mest lønnsamt" betyr at vi må finne den globale maksimumsverdien til overskotsfunksjonen. Vi reknar ut den deriverte og dobbeltderiverte til overskotsfunksjonen.
Vi set
Den dobbeltderiverte er alltid negativ, og den deriverte er lik null for
Det er mest lønnsamt for bedrifta å produsere 500 treningsdressar per år, og då blir overskotet 60 000 kroner.
Kommentar: Vi veit eigentleg frå før at ein andregradsfunksjon med negativt tal føre andregradsleddet har eitt og berre eitt stasjonært punkt som alltid er eit toppunkt.
Løysing med CAS:
FM-2
Anders kastar ein stein rett opp i lufta. Høgda til steinen over bakken målt i meter etter
a) Finn ved rekning når steinen er i det høgaste punktet sitt, og kor høgt han er akkurat då.
Løysing
Det høgaste punktet betyr at vi leiter etter den globale maksimalverdien. Funksjonen er ein andregradsfunksjon med negativt tal føre andregradsleddet. Då treng vi ikkje å bruke dobbeltderiverttesten sidan vi veit at vi har eitt toppunkt og at den globale maksimalverdien er der.
Vi løyser oppgåva med CAS.
Steinen er i det høgaste punktet sitt etter 2,6 s. Den maksimale høgda til steinen er 31,9 m.
b) Når landar steinen på bakken?
Løysing
Når steinen landar på bakken, er høgda lik null. Vi må finne nullpunktet til funksjonen.
Det første nullpunktet er i starten av kastet. Steinen landar etter 5,1 s.
c) Kva blir definisjonsmengda og verdimengda til funksjonen
Løysing
Kastet startar ved
Verdimengda blir dei moglege høgdene steinen kan ha. Den lågaste høgda er 0, og den største høgda fann vi var 31,9 m. Verdimengda blir
d) Finn eit uttrykk for farten til steinen. Kva slags måleining får farten?
Løysing
Farten til steinen er lik den deriverte til høgda (vekstfarten til høgda i forhold til tida).
Sidan eininga på
e) Rekn ut
Løysing
Tidspunktet
Dette er òg den største farten steinen får. Årsaka til det er at uttrykket for farten er ei rett linje der
f) Finn eit uttrykk for akselerasjonen til steinen. Kva blir måleininga for akselerasjonen?
Løysing
Akselerasjonen fortel korleis farten endrar seg (veks) med tida og er derfor lik den deriverte av farten (vekstfarten til farten i forhold til tida).
Sidan akselerasjonen er den deriverte av farten med omsyn på tida, blir måleininga til akselerasjonen "meter per sekund per sekund". Akselerasjonen er altså konstant lik
g) Når er fartsendringa til steinen størst?
Løysing
Fartsendring er det same som akselerasjon. Sidan vi har frå den førre oppgåva at akselerasjonen er konstant, får vi at fartsendringa er den same under heile kastet.
h) Kvifor er det litt ulogisk at
Løysing
Når vi kastar ein stein, startar ikkje kastet frå heilt nede på bakken, men frå ei høgde som er noko lågare enn høgda til kastaren (litt avhengig av kasteteknikk, kanskje ...). Vi kan kompensere for dette med å leggje på eit konstantledd på funksjonen
Då må vi hugse på at mange av verdiane vi har rekna ut i oppgåva, må finnast på nytt.
i) Vi tenkjer oss no at vi endrar funksjonen slik det er foreslått i løysinga til oppgåve h). Kva tal og storleikar i dei andre oppgåvene er det som blir uendra trass denne endringa?
Fasit
Både farten
Kontroller at dette stemmer ved å bruke CAS.
FM-3
Nora har ein målestav i elva. Ho har notert vasstanden i elva klokka 00.00 kvar dag i ei veke.
Ho fann at i intervallet
der
a) Rekn ut
Løysing
Svaret i linje 2 betyr at vasstanden klokka 00.00 natt til tysdag var 62,6 cm. Når
b) Tenk deg at du skal halde ein presentasjon der du skal beskrive vasstanden i elva denne veka. Kva vil du trekke fram?
Løysing
Læreplanen seier at du skal bruke derivasjon til å analysere matematiske modellar. Det er derfor viktig at du bruker derivasjon til å analysere monotonieigenskapar og finne eventuelle ekstremalpunkt og vendepunkt og ikkje berre reknar ut mange funksjonsverdiar.
Vi sjekkar først om funksjonen har nokre nullpunkt. Den eine kandidaten til nullpunkt er utanfor det aktuelle området. Vi kan heller ikkje vite kva eit nullpunkt eigentleg betyr her, for det treng ikkje bety at det ikkje er vatn i elva, berre at avlesinga på målestaven er null.
Så prøver vi å finne den største og den minste vasstanden. Linjene 5 til 9 gir at funksjonen har eit toppunkt for
På tilsvarande måte får vi at den lågaste vasstanden var 42,7 cm då målingane starta ved midnatt natt til måndagen.
Vi kan òg finne ut når vasstanden steig raskast og sokk raskast. Linje 7, 8 og 9 gir at funksjonen har eit vendepunkt for
Sidan det ikkje er fleire vendepunkt til grafen, må han stige raskast i eitt av endepunkta. Frå linje 10 får vi at vasstanden steig raskast då målingane starta midnatt natt til måndag, og då steig vasstanden med 28 cm per døgn.
Nedanfor har vi teikna grafen til funksjonen
FM-4
Funksjonen
viser temperaturen
Tenk deg at du skal halde ein presentasjon der du skal beskrive temperaturutviklinga desse 12 timane. Kva vil du trekkje fram?
Løysing
Dei 12 timane frå midnatt til klokka 12 på formiddagen svarer til at vi skal ha
I linje 2 finn vi nullpunkta, som betyr når temperaturen var på
Så prøver vi å finne den høgaste og lågaste temperaturen. Linje 3 og 6 viser at funksjonen har eit toppunkt for
Vi vil undersøkje når temperaturen steig eller sokk raskast. Linje 5, 6 og 7 gir at grafen har eit vendepunkt for
Då er det i eitt av endepunkta at temperaturen steig raskast sidan det ikkje er fleire vendepunkt. Vi får at temperaturen steig raskast klokka 12.00, og då steig temperaturen med 1,4 grader per time.
Nedanfor har vi teikna grafen til
FM-5
Gitt ein sylinder med eit volum på éin liter.
a) Vis at radius i sylinderen kan uttrykkjast som
Løysing
Volumet til ein sylinder er gitt ved
Vi set
Sidan
Her blir
Alternativt kan vi løyse oppgåva med CAS.
Vi kan ikkje bruke den første løysinga sidan
b) Vis at overflata av sylinderen kan uttrykkjast som
Løysing
Overflata av ein sylinder med botn og topp er gitt ved
Vi byter ut
Alternativt kan vi løyse oppgåva med CAS.
Som i den førre oppgåva ser vi at GeoGebra skriv svaret på ein litt annan måte enn den vi kom fram til for hand. Kva er forskjellen?
Du skal lage ein sylinderforma boks som skal romme éin liter.
c) Kor høg må boksen vere, og kor stor radius må han ha, dersom overflata skal bli minst mogleg?
Løysing
For å minimalisere overflata til boksen, må vi finne ut om funksjonen
Vi bruker dobbeltderiverttesten i linje 6 for å sjekke at det eine nullpunktet til
høgda er 1,08 dm
radiusen er 0,54 dm
d) Kva er forholdet mellom diameter og høgde i denne boksen?
Løysing
Vi løyser oppgåva med CAS.
Forholdet mellom diameter og høgde er altså 1. Det betyr at høgda er lik diameteren.
Dersom du har ein hermetikkboks eller ein annan sylinderforma gjenstand som skal ha volum på 1 liter, kan du ta med ein linjal og måle diameter og høgde. Korleis er måla i forhold til resultata du har funne her?