Grenseverdiar til polynom og rasjonale uttrykk
Grenseverdiar til polynomfunksjonar
Ein regel seier at grenseverdien til ein polynomfunksjon når går mot ein bestemd verdi , kan vi finne ved å rekne ut .
når er ein polynomfunksjon.
Eksempel
Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen «Grenseverdi()», som vist til høgre.
Grenseverdien til ein rasjonal funksjon
Rasjonale funksjonar består av polynomfunksjonar i teljar og nemnar. Vi kan òg her finne grenseverdiar ved innsetjing. Føresetnaden er at vi ikkje får null i nemnar.
Vi skil mellom tre ulike situasjonar.
![Talet 1. Illustrasjon.](https://api.ndla.no/image-api/raw/1.png?width=1024)
1. Grenseverdi for ein brøk der nemnaren ikkje går mot null
Eksempel
Vi ser på brøkane og når går mot 3. Her kan vi finne grenseverdiane direkte ved å setje inn 3 i staden for og rekne ut.
![Talet 2. Illustrasjon.](https://api.ndla.no/image-api/raw/2.png?width=1024)
2. Grenseverdi for ein brøk der nemnaren går mot null, men teljaren ikkje går mot null
Vi ser på brøken . Kva skjer med brøken når går mot 2?
Oppgåve
Prøv å setje inn tal som er nære 2. Kva får du?
Løysingsforslag
Når går mot 2, vil teljaren gå mot 3, medan nemnaren blir mindre og mindre. Det betyr at verdien av brøken blir større og større. Utrekningane ovanfor viser dette. Det viser seg at det ikkje eksisterer nokon grenseverdi. Verdien av brøken veks over alle grenser.
Det betyr at ikkje eksisterer.
Kva får du om du prøver kommandoen «Grenseverdi» i CAS i GeoGebra på denne grenseverdien?
Ein brøk har ingen grenseverdi for om vi får null i nemnar og eit tal ulikt null i teljar når vi set inn talet . Då vil verdien av brøken gå mot anten pluss eller minus uendeleg når nærmar seg .
Nedanfor viser vi korleis vi kan rekne ei slik oppgåve.
Eksempel
Med CAS i GeoGebra får vi eit spørsmålsteikn til svar. Tilsvarande som når det ikkje eksisterer ei løysing på ei likning, betyr dette at grenseverdien ikkje eksisterer.
![Talet 3. Illustrasjon.](https://api.ndla.no/image-api/raw/3.png?width=1024)
3. Grenseverdi for ein brøk der både teljaren og nemnaren går mot null
Ein regel seier at viss to funksjonar og er like for alle verdiar i nærleiken av , men ikkje nødvendigvis for , så er
Vi ser på brøken . Når , får vi null i både teljar og nemnar.
Dette betyr at vi kan faktorisere og forkorte, og vi får
Her er og .
Med CAS i Geogebra får vi same svar.
Nedanfor viser vi korleis ei slik oppgåve kan reknast for hand.
Eksempel
Med CAS i GeoGebra får vi same svar.
Eksempel
Med CAS i GeoGebra får vi same svar.