Gitt funksjonen .
a) Fyll ut resten av verditabellen.
x011,51,91,992,012,12,5345f(x)120101113232
Løysing
x011,51,91,992,012,12,5345f(x)120-1-9-9910111323243
b) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmar seg 2 frå venstre.
Løysing
Når x-verdien nærmar seg 2 frå venstre, går funksjonsverdien mot minus uendeleg.
c) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmar seg 2 frå høgre.
Løysing
Når x nærmar seg 2 frå høgre, går funksjonsverdien mot pluss uendeleg.
d) Teikn grafen til funksjonen f.
Løysing
Grafen til funksjonenf:
Grafen til f med vertikal asymptote Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA e) Teikn inn linja x=2 i det same koordinatsystemet som grafen til f. Kva kallar vi denne linja?
Løysing
Linja x=2 kallar vi vertikal asymptote.
Gitt funksjonen fx=x-1x.
a) Fyll ut resten av tabellen.
x-1000-100-10-10,51101001000f(x)1,010,9
Løysing
x-1000-100-10-10,51101001000f(x)11,011,12-100,90,991
b) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmar seg -∞.
Løysing
Funksjonsverdien nærmar seg 1 når x-verdien nærmar seg -∞.
c) Skriv med dine eigne ord kva som skjer med funksjonsverdien når x-verdien nærmar seg ∞.
Løysing
Funksjonsverdien nærmar seg 1 når x-verdien nærmar seg ∞.
d) Teikn grafen til funksjonen f.
Løysing
Grafen til funksjonen f:
Grafen til f med horisontal asymptote Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA e) Teikn inn linja y=1 i det same koordinatsystemet som grafen til f. Kva kallar vi denne linja?
Løysing
Linja y=1 kallar vi horisontal asymptote.
Finn eventuelle asymptotar til funksjonen. Lag deretter ei skisse av grafen til funksjonen.
a) fx=2x-2
Løysing
Vertikal asymptote:
Nemnaren er lik 0 når x=2. Teljaren er ikkje 0.
Grenseverdien eksisterer ikkje.
limx→2fx=±∞
Linja x=2 er ein vertikal asymptote for f.
Horisontal asymptote:
limx→±∞fx=limx→±∞2x-2=limx→±∞2xxx-2x=01-0=0
Når x går mot ±∞, vil grafen til f nærme seg x-aksen. Linja y=0 er ein horisontal asymptote for f.
Grafen til f:
Grafen til f med asymptotar Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA b) fx=x-1x-2
Løysing
Vertikal asymptote:
Nemnaren er lik 0 når x=2. Teljaren er ikkje 0.
Grenseverdien eksisterer ikkje.
limx→2fx=±∞
Linja x=2 er ein vertikal asymptote for f.
Horisontal asymptote:
limx→±∞fx=limx→±∞x-1x-2=limx→±∞xx-1xxx-2x=1-01-0=1
Når x går mot ±∞, vil grafen til f nærme seg linja y=1.
Linja y=1 er ein horisontal asymptote for f.
Grafen til f:
Grafen til f med vertikal asymptote Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA c) fx=x2+4x-2
Løysing
Vertikal asymptote:
Nemnaren er lik 0 når x=2. Teljaren er ikkje 0.
Grenseverdien eksisterer ikkje.
limx→2fx=±∞
Linja x=2 er ein vertikal asymptote for f.
Horisontal asymptote:
limx→±∞fx=limx→±∞x2+4x-2 =limx→±∞x2x2+4x2xx2-2x2=limx→±∞1+01x-0=10
Når x går mot ±∞, vil nemnaren gå mot 0. Teljaren blir eit tal ulikt frå 0. Grenseverdien eksisterer ikkje. Det er dermed ingen horisontal asymptote.
Grafen til f:
Grafen til f og den vertikale asymptoten Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA d) fx=3x-1x
Løysing
Vertikal asymptote:
Nemnaren er lik 0 når x=0. Teljaren er ikkje 0.
Grenseverdien eksisterer ikkje.
limx→2fx=±∞
Linja x=0 er ein vertikal asymptote for f.
Horisontal asymptote:
limx→±∞fx=limx→±∞3x-1x=limx→±∞3xx-1xxx=3-01=3
Når x går mot ±∞, vil grafen til f nærme seg linja y=3.
Linja y=3 er ein horisontal asymptote for f.
Grafen til f:
Grafen til f og asymptotane som høyrer til Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA
Finn eventuelle asymptotar til funksjonen. Teikn deretter grafen til funksjonen.
a) fx=2x2x2-2
Løysing
fx=2x2x2-2
Vertikal asymptote:
Vi finn nullpunkta til nemnaren.
x2-2 = 0x2 = 2x = ±2
Det er her to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først x=2. Når x=2, blir teljaren 2·(2)2=4. Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien eksisterer ikkje.
f(x)=±∞ når x→2. Linja x=2 er ein vertikal asymptote for f.
Vi undersøkjer så for x=-2. Når x=-2, blir teljaren 2·-22=4. Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien eksisterer ikkje.
f(x)→±∞ når x→-2. Linja x=-2 er ein vertikal asymptote for f.
Horisontal asymptote:
lim x→±∞fx=limx→±∞2x2x2-2=limx→±∞2x2x2x2x2-2x2=21-0=31=2
Når x går mot ± uendeleg, vil grafen til f nærme seg linja y = 2.
Linja y = 2 er ein horisontal asymptote for f.
Grafen til f:
Grafen til f saman med dei to vertikale asymptotane og den horisontale asymptoten Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA b) fx=x2-2x+4x2-2x
Løysing
fx=x2-2x+4x2-2x
Vertikal asymptote:
Vi finn nullpunkta til nemnaren.
x2-2x = 0x(x-2) = 0x = 0 ∨x = 2
Det er to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først x=0. Når x=0, blir teljaren 02-2·0+4=4.
Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien eksisterer ikkje.
limx→0fx=±∞
Linja x=0 er ein vertikal asymptote for f.
Vi undersøkjer så for x=2.
Når x=2, blir teljaren 22-2·2+4=4.
Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien eksisterer ikkje.
lim x→2fx=±∞
Linja x=2 er ein vertikal asymptote for f.
Horisontal asymptote:
limx→±∞fx=limx→±∞x2-2x+4x2-2x=limx→±∞x2x2-2xx2+4x2x2x2-2xx2=limx→±∞1-2x+4x21-2x=1-0+01-0=1
Når x går mot ± uendeleg, vil grafen til f nærme seg linja y=1.
Linja y=1 er ein horisontal asymptote for f.
Grafen til f:
Grafen til f og asymptotane til grafen Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA c) fx=x3-9x3
Løysing
fx=x3-9x3
Vertikal asymptote:
Nemnaren er lik 0 når x=0. Teljaren blir ikkje 0.
Grenseverdien eksisterer ikkje.
limx→0fx=±∞
Linja x=0 er ein vertikal asymptote for f.
Horisontal asymptote:
lim fxx→±∞=lim x→±∞x3-9x3=lim x→±∞x3x3-9x3x3x3=1-01=1
Når x går mot ± uendeleg, vil grafen til f nærme seg linja y=1.
Linja y=1 er ein horisontal asymptote for f.
Grafen til f:
Grafen til f med asymptotar Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA d) fx=x-2x2-2x
Løysing
fx=x-2x2-2x
Vertikal asymptote:
Vi finn nullpunkta til nemnaren.
x2-2x = 0x(x-2) = 0x = 0 ∨ x = 2
Her er det to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først x=0. Når x=0, blir teljaren 0-2=-2. Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien eksisterer ikkje.
limx→0fx=±∞
Linja x=0 er ein vertikal asymptote for f.
Vi undersøkjer så for x=2. Sidan nemnaren er 0, er ikkje brøken definert.
Vi kan finne grenseverdien ved å forkorte.
limfxx→2=limfxx→2x-2x2-2x=limfxx→2x-2x(x-2)=limx→21x=12
Horisontal asymptote:
limx→±∞fx=limx→±∞x-2x2-2x=limx→±∞xx2-2x2x2x2-2xx2=limx→±∞1x-2x21-2x=0-01-0=0
Når x går mot ± uendeleg, vil grafen til f nærme seg linja til y=0. Linja y=0 er ein horisontal asymptote for f.
Grafen til f:
Grafen til f med asymptotar Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA