Oppgåver og aktivitetar

Eksponentiell vekst

Her kan du arbeide med oppgåver om eksponentiell vekst. I slike oppgåver er vekstfaktoren viktig.

PS-30

Adam set 5 000 kr i banken. Rentefoten er 2,0 prosent per år.

a) Kor mykje har han i banken dersom pengane står urørt i 10 år og renta er uendra desse åra?

Løysing

Vekstfaktoren for ein auke på 2,0 prosent er

$1 + \frac{2}{100} = 1 + 0, 02 = 1, 02$

Beløpet på 5 000 skal multipliserast med vekstfaktoren 10 gonger. Med CAS får vi

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står 5000 multiplisert med 1,02 opphøgd i 10. Svaret med tilnærming er 6094,97. Skjermutklipp.

Etter 10 år og når pengane har stått urørt på kontoen med den same renta, har han 6 094,97 kroner i banken.

b) Kor lenge må pengane stå i banken før det står 5 500 kroner på kontoen?

Løysing

Vi kan setje opp den følgande likninga der $x$ er talet på år pengane må stå i banken:

$5 000 \cdot 1, 02^{x} = 5 500$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står 5000 gonger 1,02 opphøgd i x er lik 5500. Svaret med N Løys er x er lik 4,81. Skjermutklipp.

Pengane må stå i banken i nesten fem år før det står 5 500 kroner på kontoen.

PS-31

Vi går ut frå at innbyggartalet i Småby veks med 1,5 prosent kvart år. Det bur i dag 13 000 personar i Småby.

a) Kva vil innbyggartalet i Småby vere om 5 år dersom veksten er på 1,5 prosent heile tida?

Løysing

Vekstfaktoren er $1 + \frac{1, 5}{100} = 1, 015$ .

Innbyggartalet på 15 000 skal multipliserast med vekstfaktoren 5 gonger. Med CAS får vi

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står 13000 multiplisert med 1,015 opphøgd i 5. Svaret med tilnærming er 14004,69. Skjermutklipp.

Om 5 år vil innbyggartalet vere cirka 14 000.

b) Kor mange år går det før innbyggartalet når 15 000 dersom den årlege prosentvise veksten held fram med å vere 1,5 prosent?

Løysing

Vi kan setje opp den følgande eksponentiallikninga der $x$ betyr talet på år det tek før innbyggartalet er 13 000:

$13 000 \cdot 1, 015^{x} = 15 000$

Likninga løyser vi med CAS i GeoGebra.

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står 13000 multiplisert med 1,02. Svaret med N Løys er x er lik 9,611. Skjermutklipp.

Innbyggartalet vil vere 15 000 om cirka 9,5 år.

Merk: Her har vi endra talet på desimalar i GeoGebra til 3 ved å gå til "Innstillingar" i hovudmenyen i GeoGebra øvst til høgre. Vi må ikkje gjere det, men GeoGebra rundar av vekstfaktoren vi har skrive inn, til 1,02 i CAS-feltet når talet på desimalar er sette til 2. Heldigvis reknar GeoGebra med 1,015, så det har ikkje noko å seie for løysinga på likninga.

c) Kva måtte den årlege veksten ha vore for at innbyggartalet skulle ha auka til 15 000 i løpet av 5 år?

Tips til oppgåva

Her er vekstfaktoren ukjend.

Løysing

Her skal innbyggartalet på 13 000 blir multiplisert med ein ukjend vekstfaktor $x$ 5 gonger, og svaret skal bli 15 000. Dette gir likninga

$13 000 \cdot x^{5} = 15 000$

Etterpå må vi finne prosenten frå vekstfaktoren. Med CAS i GeoGebra får vi

CAS-vindauget i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrive 13000 multiplisert med x opphøgd i 5 er lik 15000. Svaret med "N Løys" er x er lik 1,029. På linje 2 er det skrive 1 pluss p delt på 100 er lik 1,029. Svaret med "N Løys" er p er lik 2,9. Skjermutklipp.

Den årlege veksten må vere på 2,9 prosent for at innbyggartalet skal nå 15 000 i løpet av 5 år.

d) Fram til i dag har befolkningsveksten i Småby vore på 2,4 prosent i gjennomsnitt kvart år dei 10 førre åra.

Kva var innbyggartalet i Småby for 10 år sidan?

Løysing

Vekstfaktoren for denne endringa er 1,024. Når vi går 10 år tilbake i tid, betyr det at vi må dele på vekstfaktoren 10 gonger.

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står 13000 delt på 1,024 opphøgd i 10. Svaret med tilnærming er 10255,192. Skjermutklipp.

Innbyggartalet i Småby for 10 år sidan var cirka 10 250.

Alternativt kan vi rekne ut svaret ved å multiplisere med vekstfaktoren opphøgd i talet på år, som er $- 10$ sidan vi går bakover i tid:

$13 000 \cdot 1, 024^{- 10}$

PS-32

Ein bil kosta 600 000 då han var ny. Etter 5 år vart han seld for 400 000.

a) Kva var det gjennomsnittlege årlege verditapet i prosent?

Løysing

Den ukjende vekstfaktoren $x$ skal multipliserast 5 gonger med nybilprisen, og svaret skal bli 400 000. Dette gir oss ei likning som vi løyser med CAS. Til slutt finn vi prosenten.

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. På linje 1 er det skrive 600000 multiplisert med x i femte er lik 400000. Svaret med N Løys er x er lik 0,922. På linje 2 er det skrive 1 minus p delt på 100 er lik 0,922. Svaret med N Løys er p er lik 7,8. Skjermutklipp.

Det årlege verditapet var 7,8 prosent i gjennomsnitt.

b) Kva ville det årlege prosentvise verditapet ha vore dersom prisen hadde vorte halvert i løpet av 5 år?

Løysing

Dette blir den same typen likning som i den førre oppgåva, berre at no skal verdien ned til halvparten, som er 300 000 kroner.

CAS-vindauget i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrive 600000 multiplisert med x i femte er lik 300000. Svaret med N Løys er x er lik 0,871. På linje 2 er det skrive 1 minus p delt på 100 er lik 0,871. Svaret med N Løys er p er lik 12,9. Skjermutklipp.

Det årlege verditapet er 12,9 prosent i gjennomsnitt dersom prisen blir halvert på 5 år.

c) Vis at det årlege prosentvise verditapet er det same som i oppgåve b) uansett kor mykje bilen kosta som ny så lenge prisen blir halvert i løpet av 5 år.

Løysing

Vi set nybilprisen lik $b$ . Då er halvparten av nybilprisen $\frac{b}{2}$ . Vi får likninga

$\begin{array}{rcl} b \cdot x^{5} & = & \frac{b}{2} \\ x^{5} & = & \frac{1}{2} \end{array}$

Vi ser at resultatet er uavhengig av nybilprisen.

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står x i femte er lik ein halv. Svaret med N Løys er x er lik 0,871. Skjermutklipp.

Vi får den same vekstfaktoren som i den førre oppgåva og dermed den same prosenten.

PS-33

I byrjinga av mars 2020 oppdaga styresmaktene i Noreg dei første tilfella av personar smitta med koronaviruset. Styresmaktene visste at dersom ikkje tiltak vart sette inn for å hindre spreiing av viruset, ville i gjennomsnitt kvar koronapasient smitte cirka 2,4 andre personar dei omtrent 5 dagane ein rekna med at pasienten var smitteførande. Dette betyr at det såkalla R-talet (reproduksjonstalet) er 2,4.

a) Kva er vekstfaktoren for denne auken, og kor mange prosent auke svarer dette til?

Løysing

I løpet av 5 dagar aukar talet på nye smitta med ein faktor på 2,4. Dette blir derfor det same som vekstfaktoren.

Vi finn prosenten med CAS.

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står 1 pluss p delt på 100 er lik 2,4. Svaret med N Løys er p er lik 140. Skjermutklipp.

Auken i talet på smitta i løpet av 5 dagar er på 140 prosent.

b) Vi tenker oss ei smittekjede som startar med éin person. Kor mange nye personar vil bli smitta i perioden 20–25 dagar etter at den første personen vart smitteførande dersom veksten i talet på nye smitta er uendra?

Løysing

Perioden 20–25 dagar etter at den første personen vart smitteførande, svarer til den 5. smitterunden. Det betyr at talet på nye smitta har auka med ein faktor på $2, 4^{5}$ . Talet på nye smitta i denne perioden blir derfor

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står 1 multiplisert med 2,4 opphøgd i 5. Svaret med tilnærming er 79,626. Skjermutklipp.

I perioden 20–25 dagar etter at den første personen vart smitteførande, vart cirka 80 personar smitta.

c) Kor mange nye blir smitta etter to månader om dette held fram?

Løysing

Dersom vi reknar at to månader er 60 dagar, blir talet på periodar $\frac{60}{5} = 12$ .

CAS-vindauget i GeoGebra, ei linje. Det står 1 multiplisert med 2,4 opphøgd i 12. Svaret med tilnærming er 36520,347. Skjermutklipp.

Etter to månader er talet på nye smitta cirka 36 500.

d) Kor mange månader tek det før talet på nye smitta passerer 1 000 000?

Løysing

Vi lar $x$ stå for talet på periodar med vekst og kan setje opp ei likning som vi kan løyse med CAS. Vi multipliserer svaret med 5 for å få talet på dagar og deler på 30 for å få talet på månader.

CAS-vindauget i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrive 1 multiplisert med 2,4 opphøgd i x er lik 1000000. Svaret med N Løys er x er lik 15,781. På linje 2 er det skrive 16 multiplisert med 5 delt på 30. Svaret med tilnærming er 2,667. Skjermutklipp.

Talet på nye smitta passerer 1 million litt over halvvegs i den tredje månaden etter at den første personen vart smitteførande.

e) Vekstfaktoren på 2,4 gjeld for ein periode på 5 dagar. Vi ønsker oss ein formel for talet på nye smitta der $x$ betyr talet på dagar etter at den første personen vart smitteførande.

Finn ut kva den daglege prosentvise auken i talet på nye smitta er, og lag ein slik formel.

Løysing

Her må vi finne vekstfaktoren for éin dag når vekstfaktoren for 5 dagar er 2,4. Det betyr at vekstfaktoren for éin dag skal multipliserast med seg sjølv 5 gonger, og at resultatet skal bli 2,4. Dersom vi kallar den ukjende vekstfaktoren for éin dag $x$ , vil dette gi oss likninga $x^{5} = 2, 4$ .

CAS-vindauget i GeoGebra, to linjer. På linje 1 er det skrive x i femte er lik 2,4. Svaret med N Løys er x er lik 1,191. På linje 2 er det skrive 1 pluss p delt på 100 er lik 1,191. Svaret med N Løs er p er lik 19,1. Skjermutklipp.

Frå éin dag til den neste aukar talet på smitta med 19,1 prosent. Ein formel for talet på smitta etter $x$ dagar er

$1, 191^{x}$

f) Så langt har vi heile tida sett på talet på nye smitta. Det samla talet smitta etter $x$ periodar vil vere ein sum av alle dei nye smitta frå kvar periode fram til og med periode $x$ . Finn ein måte ein kan bruke til å anslå kor lang tid det tek før heile Noregs befolkning er smitta dersom den prosentvise veksten i talet på nye smitta er den same heile tida.

Løysing

Vi veit at talet på nye smitta aukar med meir enn det dobbelte etter ein periode på 5 dagar. Men vi veit ikkje om talet på nye smitta er meir enn dobbelt så stort som det samla talet som er eller har vore smitta frå før.

Vi set Noregs befolkning til 5 millionar. Vi kan i alle fall seie at når talet på nye smitta passerer 5 millionar, er heile befolkninga smitta. Dette gir oss likninga

$1 \cdot 2, 4^{x} = 5 000 000$

CAS-vindauget i GeoGebra, tre linjer. På linje 1 er det skrive 2,4 opphøgd i x er lik 5000000. Svaret med Løys er x er lik eit komplisert uttrykk som vi forenklar på neste linje. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er x er lik 17,619. På linje 3 er det skrive 2,4 opphøgd i 17. Svaret med tilnærming er 2907977,95. Skjermutklipp.

GeoGebra klarte ikkje å løyse likninga med "NLøys", så vi brukte "Laus" og laga ei tilnærming til svaret i linje 2. Resultatet betyr at etter den 18. perioden vil det i teorien vere over 5 millionar nye smitta. I linje 3 sjekkar vi derfor kor mange nye smitta det blir etter den 17. femdagarsperioden, og det er godt over halvparten av Noregs befolkning. Då vil omtrent alle vere smitta i løpet av 17 femdagarsperiodar. Dette er 105 dagar, eller cirka tre og ein halv månad.

CC BY-SASkrive av Bjarne Skurdal, Stein Aanensen og Olav Kristensen.

Sist fagleg oppdatert 23.05.2022

Eksponentiell vekst

PS-30

PS-31

PS-32

PS-33

Reglar for bruk