Omdreiingstal, utveksling og fart

I formelen  $$ i=\frac{n_1}{n_2}$$  må vi ha at  $$ n_1=2 000 \mathrm{omdr}/\min $$  sidan den drivande sida har dette omdreiingstalet. Utvekslinga er

$$ $ i=\frac{n_1}{n_2}$=\frac{2 000 \mathrm{omdr}/\min }{1 400 \mathrm{omdr}/\min }\hspace{0.17em}=\frac{20}{14}=\frac{10}{7}=1,43$$

(Her har vi vist korleis vi kan forkorte ned brøken $$ \frac{2 000}{1 400}$$, men vi må ikkje gjere det for å rekne ut svaret.)

Vi kan snu på formelen i oppgåve a) slik vi har gjort på sida Utveksling og omdreiingstal (ndla.no). Då får vi

$$ n_2=\frac{n_1}{i}=\frac{2 500 \mathrm{omdr}/\min }{1,43}=1 748,3 \mathrm{omdr}/\min $$

For å få mest mogleg eksakt svar bruker vi heller brøken $$ \frac{10}{7}$$ frå oppgåve a) som mål på utvekslinga. Då får vi

$$ \begin{array}{rcl}$ n_2 $ & =& \frac{n_1}{i}\\ & =& \frac{2 500 \mathrm{omdr}/\min }{{\displaystyle \frac{10}{7}}}\\ & =& 2 500 \mathrm{omdr}/\min :\frac{10}{7}\\ & =& 2 500 \mathrm{omdr}/\min ·\frac{7}{10}\\ & =& 1 750 \mathrm{omdr}/\min \end{array}$$

Her fekk vi eit fint og eksakt tal som svar. Legg òg merke til at vi fekk bruk for regelen om at når vi deler på ein brøk, er det det same som å multiplisere med den omsnudde brøken.

Vi kan uttrykkje utvekslinga som

$$ i=\frac{Z_2}{Z_1}$$

Det betyr at vi har at  $$ Z_1=14$$. Dersom vi snur på formelen, får vi

$$ \begin{array}{rcl}i & =& \frac{Z_2}{Z_1}\\ i·Z_1 & =& \frac{Z_2}{\cancel{Z_1}}·\cancel{Z_1}\\ Z_2 & =& i·Z_1=\frac{10}{7}·14=\frac{10·14}{7}=20\end{array}$$

Dersom vi reknar ut svaret med å bruke at  $$ i=1,43$$, får vi eit desimaltal til svar, og eit tannhjul må ha eit heilt tal tenner.

Går det an å finne svaret direkte ved å sjå på opplysningane øvst i oppgåva?

Vi har at utvekslinga  $$ i=\frac{10}{7}$$, og vi har frå den førre oppgåva at kombinasjonen av tannhjul med 20 og 14 tenner gir den same utvekslinga. Vi såg i oppgåve a) at brøken $$ \frac{20}{14}$$ kunne forkortast ned til $$ \frac{10}{7}$$. Det må bety at ei utveksling med tannhjul med 10 og 7 tenner òg gir den same utvekslinga.

Teljaren i brøkane vil stå for mengde tenner på det drivne tannhjulet, og nemnaren vil stå for talet på tenner i det drivande tannhjulet. Dersom du kan finne andre brøkar som har den same verdien, har du samtidig nye kombinasjonar av tannhjul som gir den same utvekslinga.

Det må du finne sjølv!

a) Tannhjulet til venstre har 14 tenner, det til høgre har 28 tenner. I formelen  $$ i=\frac{Z_2}{Z_1}$$  får vi at $$ Z_1=14$$ sidan dette tannhjulet er drivande. Utvekslinga blir

$$ $ i=\frac{Z_2}{Z_1}$=\frac{28}{14}=2$$

b) Her blir det motsett av i oppgåve a). Då får vi at

$$ i=\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$$

Dersom vi multipliserer svara i a) og b), får vi

$$ 2·\frac{1}{2}=\frac{2·1}{2}=1$$

Det vil alltid bli slik fordi vi reknar ut svaret i b) ved å snu på brøken i forhold til utrekninga i a).

Vi får utvekslinga $$ \frac{a}{b}$$ den eine vegen og $$ \frac{b}{a}$$ den andre vegen. Dersom vi multipliserer desse brøkane, får vi

$$ \frac{a}{b}·\frac{b}{a}=\frac{a·b}{b·a}=\frac{ab}{ab}=1$$

$$ i=3$$

$$ i=\frac{1}{3}$$

$$ i=1$$

$$ i=1$$

Tannhjula har 14, 28 og 42 tenner. Utvekslinga $$ i_a$$ mellom det første og det andre tannhjulet blir

$$ i_a=\frac{28}{14}=2$$

Utvekslinga $$ i_b=\frac{42}{28}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$.

Den totale utvekslinga får vi ved å multiplisere desse to utvekslingane.

$$ i=i_a·i_b=2·\frac{3}{2}=\frac{2·3}{2}=3$$

Her kan vi bruke resultatet frå oppgåve 2 c), som seier at dersom vi multipliserer utvekslinga frå den eine sida til den andre med utvekslinga når vi går motsett veg, får vi alltid resultatet 1. Det betyr at

$$ i=\frac{1}{3}$$

Dersom vi samanliknar med løysinga i oppgåve a), får vi

$$ i_a=\frac{Z_2}{Z_1}$$  og  $$ i_b=\frac{Z_3}{Z_2}$$

Den totale utvekslinga blir

$$ i=i_a·i_b=\frac{Z_2}{Z_1}·\frac{Z_3}{Z_2}=\frac{\cancel{Z_2}·Z_3}{Z_1·\cancel{Z_2}}=\frac{Z_3}{Z_1}$$

Talet på tenner $$ Z_2$$ på tannhjulet i midten er ikkje med i formelen. Formelen er uavhengig av storleiken på tannhjulet i midten. Det betyr at vi får den same totale utvekslinga $$ i$$ uansett storleik på dette tannhjulet. Vi får òg den same totale utvekslinga om vi koplar det første tannhjulet direkte på det tredje og ikkje har noko tannhjul i midten.

Kva er då poenget med å setje inn eit tannhjul i midten?

Utvekslinga er

$$ i=\frac{n_1}{n_2}=\frac{3 000 \mathrm{omdr}/\min }{2 000 \mathrm{omdr}/\min }=\frac{3}{2}$$

Vi har at  $$ i=\frac{Z_2}{Z_1}$$. Vi snur på formelen og får at talet på tenner $$ Z_2$$ på det drivne tannhjulet blir

 $$ \begin{array}{rcl}i & =& \frac{Z_2}{Z_1}\\ i·Z_1 & =& \frac{Z_2}{\cancel{Z_1}}·\cancel{Z_1}\\ Z_2 & =& i·Z_1=\frac{3}{2}·24=\frac{3·24}{2}=36\end{array}$$

Tannhjulet med 24 tenner kan både vere det drivande og det drivne tannhjulet. I oppgåve b) er det det drivande tannhjulet. Dersom tannhjulet er det drivne tannhjulet, får vi at talet på tenner $$ Z_1$$ på det drivande tannhjulet blir

$$ $ \begin{array}{rcl}i & =& \frac{Z_2}{Z_1}\\ i·Z_1 & =& \frac{Z_2}{\cancel{Z_1}}·\cancel{Z_1}\\ \frac{\cancel{i}·Z_1}{\cancel{i}} & =& \frac{Z_2}{i}\\ Z_1 & =& \frac{Z_2}{i}=\frac{24}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=24:\frac{3}{2}=24·\frac{2}{3}=\frac{24·2}{3}=16\\ & & \end{array}$$$

Gjennomfør utrekningane i oppgåve b) og c), og forklar kva svara betyr.

$$ \begin{array}{rcl}v & =& \frac{n·O·3,6}{i_t·60}\\ & =& \frac{8 200·1,76·3,6}{0,78·60} \mathrm{km}/\mathrm{h}\\ & =& 1 110 \mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Du synest kanskje den teoretiske toppfarten var unødig høg på denne bilen? Det kan jo vere kjekt med ei låg utveksling for å få eit behageleg lågt turtal og drivstofforbruk på ein motorveg, men om bilen skal brukast på ein bane, er det kanskje fornuftig å setje inn ei høgare utveksling i girkassen og/eller bakakselen.

Kvifor vil (mest sannsynleg) bilen ikkje gå så fort uansett?

$$ $ \begin{array}{rcl}v & =& \frac{n·O·3,6}{i_t·60}\\ & =& \frac{4 000·1,688·3,6}{1,28·4,125·60} \mathrm{km}/\mathrm{h}\\ & =& 77 \mathrm{km}/\mathrm{h}\\ & & \end{array}$$$

Farten til bilen er 77 km/h. Dette kan òg reknast med CAS:

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Rett etter giringa har bilen framleis den same farten. Då kan vi setje opp ei likning som vi kan løyse med CAS.

Omdreiingstalet til motoren blir 3 125 omdr/min rett etter giring.

Dei grafiske framstillingane blir laga i eit koordinatsystem der omdreiingstalet $$ n$$ til motoren er på $$ x$$-aksen, og der farten $$ v$$ til bilen er på $$ y$$-aksen. Teikn helst for hand, eller bruk GeoGebra eller eit rekneark.

Lag ein verditabell med minst 3 samhøyrande verdiar av $$ n$$ og $$ v$$, éin verditabell for tredje gir og éin verditabell for fjerde gir. Nedanfor har vi byrja å fylle ut verditabellen for tredje gir med tal vi veit frå oppgåve a).

Verditabell for tredje gir:

2 686 omdr/min

Bruk at

• $$ 1 \mathrm{m}=0,001 \mathrm{km}$$

• $$ 1 \mathrm{s}=\frac{1}{60} \min =\frac{1}{3 600} \mathrm{h}$$

Vi seier at farten er $$ v \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$$. Så bruker vi informasjonen frå boksen "Tips til oppgåva".

$$ \begin{array}{rcl}v \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} & =& v·\frac{0,001 \mathrm{km}}{{\displaystyle \frac{1}{3 600}} \mathrm{h}}\\ & =& v·0,001:\frac{1}{3 600}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\ & =& v·0,001·\frac{3 600}{1} \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\ & =& v·3,6 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\end{array}$$

Vi kan òg vise dette med CAS i GeoGebra.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Legg merke til at GeoGebra vel å setje "km" framom brøken i staden for "v". Det er fordi GeoGebra ikkje veit kva som er ein storleik, og kva som er ei måleining av dei tre "konstantane" i utrekninga: v, km og h.

Svaret betyr altså at vi må multiplisere farten $$ v$$, som blir målt i m/s, med talet 3,6 for å få han rekna om til km/h.