Fagstoff

Likninga for tangenten til ein graf i eit punkt

Vi finn likninga til tangenten til eit punkt på grafen til ein funksjon ved å bruke den deriverte funksjonen og eittpunktsformelen.

Tangentlikning

Ein funksjon f er gitt ved

Funksjonen f av x er lik 3 multiplisert med x i tredje minus 2 multiplisert med x i andre minus 1 er teikna i eit koordinatsystem med x-verdiar frå minus 1 til 2. I tillegg er punktet på grafen med koordinatane 1 og 0 teikna inn. Illustrasjon.

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1$

Vi ønsker å finne likninga for tangenten til grafen når $x = 1$ .

Vi veit at tangenten må gå gjennom punktet $(1, f (1))$ . Derfor finn vi først $f (1)$ :

$\begin{array}{rcl} f (1) & = & 3 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 1 \\ = & 3 - 2 - 1 = 0 \end{array}$

Vi veit at stigningstalet til tangenten er lik den deriverte i tangeringspunktet. Tangeringspunktet er der $x = 1$ . Vi finn derfor $f' (x)$ først:

$f (x) = 3 \cdot 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x = 9 x^{2} - 4 x$

Funksjonen f av x er lik 3 multiplisert med x i tredje minus 2 multiplisert med x i andre minus 1 er tegnet i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 1 til 2. I tillegg er den rette linja y er lik 5 x minus 5 tegnet inn og punktet med koordinatene 1 og 0 der linja tangerer grafen til f. Illustrasjon.

Så reknar vi ut $f' (1)$ :

$f' (1) = 9 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

No veit vi at tangenten går gjennom punktet $(1, 0)$ og har stigningstal 5. Vi kan då bruke eittpunktsformelen og finne likninga for tangenten:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 0 & = & 5 (x - 1) \\ y & = & 5 x - 5 \end{array}$

Utforsking

Vis at du kan kome fram til denne løysinga utan å bruke eittpunktsformelen. Bruk at tangeringspunktet er $(1, 0)$ og at $f' (1) = 5$ .

Framgangsmåte

Når $f' (1) = 5$ veit vi at tangenten har likninga

$y = 5 x + b$

der b er ukjend. Vi veit òg at når $x = 1$ så er $y = 0$ . Når vi set dette inn i tangentlikninga, får vi

$\begin{array}{rcl} 0 & = & 5 \cdot 1 + b \\ - b & = & 5 \\ b & = & - 5 \end{array}$

Tangentlikninga blir

$y = 5 x - 5$

Tangentlikning med GeoGebra

Vi kan finne likninga for tangenten til grafen til ein funksjon i eit punkt ved å bruke kommandoen "Tangent(<x-verdi>, <funksjon>)". I dømet over vil kommandoen vere

Tangent(1,f)

når vi føreset at funksjonen f er skriven inn i GeoGebra frå før. Kommandoen har òg ein eigen verktøyknapp, men skal han brukast, må tangeringspunktet vere lagt inn på førehand til dømes ved å skrive (1,f(1)) i algebrafeltet.