Utforsking av grenseverdiar

Oppgåve 1

Tenk deg at ein ven har 4 runde pizzaer, og at du får halvparten av desse, det vil seie 2 pizzaer. Venen din held fram med å gi deg av pizzaene sine, men kvar gong du får pizza, så får du halvparten så mykje som du fekk sist. Aller først får du altså 2 pizzaer. Halvparten av 2 er 1, så du får deretter 1 pizza. No har du til saman 3 heile pizzaer. Deretter får du ein halv pizza, og då har du 3 og ein halv pizza til saman. Så får du ein kvart pizza, deretter får du ein åttandedels pizza, og slik held det fram. Korleis kan vi uttrykkje dette matematisk? Korleis vil dette ende?

Under vil du finne nokre spørsmål som kan hjelpe deg til å utvikle det matematiske språket ditt. Du vil òg få nokre strategiar som du kan bruke i den utforskande oppgåva over.

a) Startverdien er 2. Det neste leddet er alltid halvparten av det førre leddet. Kva blir dei 6 første ledda i rekka?

b) Korleis kan vi uttrykkje summen av dei 10 første ledda ved hjelp av potensar med 2 som grunntal?

c) Bruk n som nummeret på leddet i rekka. Då vil $n=3$ bety $\frac{1}{2}$. Korleis kan vi uttrykkje eit ledd ved hjelp av n?

d) Kva blir summen av dei 6 første ledda?

e) Rekn ut summen av dei sju første ledda. Deretter summerer du dei åtte første, så dei ni første og til sist dei ti første ledda. Kva blir dei ulike summane?

f) Kva kan vi seie førebels om summen av rekka?

g) Lag ein algoritme som gir oss dei 10 første ledda i rekka og deretter gir oss summen av dei 10 første ledda.

h) Lag eit program som gir oss summen av dei 10 første ledda i rekka.

1rekke = [2]            #opprettar liste for rekka og set inn det første leddet
2n = 10
3    
4for i in range (1, n):           #lagar ei lykkje for dei 9 neste ledda
5    rekke.append(2*(1/2)**i)     #bereknar neste ledd og set det inn i lista
6    
7sum = 0                          #lagar variabel til summen av rekka
8
9for ledd in list(rekke):         #lykkje for å summere ledda i rekka
10    sum = sum + ledd             
11    
12print(f"Rekka med {n} ledd er: {rekke}")   #skriv ut ledda i rekka
13print(f"Summen av rekka er: {sum:.4f}")    #skriv ut summen av ledda i rekka

1startverdi = 2     #første ledd i rekka
2n = 10             #tal på ledd i rekka
3rekke = []         #lagar tom liste til rekka
4sum = 0            #lager variabel til summen av rekka
5
6for i in range (n):                    #reknar ut dei 10 første ledda i rekka
7    rekke.append(startverdi**(1 - i))  #og legg dei til i lista
8    sum = sum + rekke[i]               #summerer ledda i rekka
9
10print(f"Rekka med {n} ledd er: {rekke}")   #skriv ut ledda i rekka
11print(f"Summen av rekka er: {sum:.4f}")    #skriv ut summen av ledda i rekka

i) Samanlikn svara du fekk i e) og h).

j) Kva skjer med summen av rekka om vi summerer dei 15 første ledda? Gjer om på koden.

k) Kva blir konklusjonen på den utforskande oppgåva? Vi har prøvd å rekne på det ved hjelp av ulike strategiar. Kva skjer om vi gjer ho som ei praktisk oppgåve og prøver å leggje saman alle pizzadelane? Kjem vi fram til det same svaret?

Oppgåve 2

Gitt funksjonen

$f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}$

a) Kva er definisjonsmengda til $f\left(x\right)$? Kva betyr det for funksjonen?

b) Kva skjer med $f\left(x\right)$ dersom x får verdien 1?

c) Sidan $f\left(x\right)$ for $x=1$ er udefinert, vil vi prøve å rekne ut verdiane i nærleiken av $x=1$. Bruk tabellen til å rekne ut nokre funksjonsverdiar nær $x=1$.

$\begin{array}{|ccccccccc|}\hline x& 0,8& 0,9& 0,99& 0,999& 1,001& 1,01& 1,1& 1,2\\ f\left(x\right)& & & & & & & & \\ \hline\end{array}$

d) Kva kan ein seie om $f\left(x\right)$ når x nærmar seg 1 ut ifrå verdiane i tabellen over?

e) Korleis kan vi, med matematisk notasjon, beskrive kva som skjer med $f\left(x\right)$ når $x$ nærmar seg 1?

f) Prøv å finne grenseverdien ved hjelp av algebra. Start med å faktorisere teljaren.

g) Finn grenseverdiane til $f\left(x\right)$ med den faktoriserte teljaren.

h) Teikn grafen til $f\left(x\right)$.

Løysing

Oppgåve 3

Gitt funksjonen

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x-2}$

Funksjonen er ikkje definert for $x=2$, for då blir nemnaren lik null. Det er likevel aktuelt å spørje seg kva som skjer med verdiane til funksjonen når x-verdiane nærmar seg 2.

$\begin{array}{|cccccccc|}\hline x& 1,99000& 1,99990& 1,99999& 2& 2,00001& 2,00010& 2,01000\\ f\left(x\right)& 3,99000& 3,99900& 3,99999& -& 4,00001& 4,00010& 4,01000\\ \hline\end{array}$

Vi skal lage eit program som reknar ut nokre funksjonsverdiar for x nær 2.

a) Skriv algoritmen til programmet. Hugs at programmet skal rekne ut funksjonsverdiar for x-verdiar som er større enn 2 og mindre enn 2 slik som i tabellen.

b) Skriv koden til programmet.

1def f(x):
2    return ((x**2 - 4)/(x - 2))  #definerer funksjonen f
3
4startX = 2      #x-verdien vi er interessert i
5#reknar ut f(x) for x-verdiar som er mindre enn startX
6diff = 0.1     #definerer startdifferansen
7for i in range (5):    #for-lykkje som blir gjenteken 5 gonger
8    xVerdi = startX - diff
9    print(f"f({xVerdi}) = {f(xVerdi):.5f}")  #viser x-verdi og funksjonsverdi
10    diff = diff/10
11
12#Gjer det same, men no for x-verdiar som er større enn startX
13diff = 0.1
14for i in range(5):
15    xVerdi = startX + diff
16    print(f"f({xVerdi}) = {f(xVerdi):.5f}")   #viser x-verdi og funksjonsverdi
17    diff = diff/10

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.