Oppgåve

Praktiske døme på rasjonale funksjonar

Her er nokre praktiske døme på korleis vi kan modellere røynda i enkle, rasjonale funksjonsuttrykk.

2.1.50

Tove leiger ein bubil for éi veke. Prisen er 10 000 kroner. I tillegg må ho betale 3 kroner per køyrde kilometer.

Tove er interessert i kva kostnadene blir per køyrde kilometer.

Gjennomsnittsprisen per køyrde kilometer, $P$ , er ein funksjon av talet på køyrde kilometer, $x$ .

a) Finn eit uttrykk for funksjonen $P (x)$ . Hugs å forklare korleis du går fram.

Løysing

Totalprisen for å leige bubil er lik pris per kilometer multiplisert med talet på kilometer pluss den faste prisen, det vil seie $3 kr / km \cdot x km + 10 000 kr$ . Gjennomsnittsprisen får vi så ved å dele dette på talet på kilometer $x$ . Då får vi

$P (x) = \frac{3 x + 10 000}{x}$

Funksjonsuttrykket blir ein rasjonal funksjon.

b) Finn $\lim_{x \to \pm \infty} P (x)$ . Kva betyr resultatet?

Løysing

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \pm \infty} P (x) & = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 x + 10 000}{x} \\ = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{10 000}{x}}{\frac{x}{x}} \\ = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 + \frac{10 000}{x}}{1} \\ = & 3 \end{array}$

Dette betyr at funksjonen $P$ har den horisontale asymptoten $y = 3$ .

Grenseverdien kan òg finnast med kommandoen Grenseverdi.

c) Finn den vertikale asymptoten til funksjonen $P$ .

Løysing

Den vertikale asymptoten til funksjonen finn vi ved å setje nemnaren i $P (x)$ lik 0. Den vertikale asymptoten er derfor

$x = 0$

Definisjonsmengda til funksjonen avheng av det forventa talet på køyrde kilometer. La oss anta at det samla talet på køyrde kilometer ikkje overstig 9 000. Då er definisjonsmengda til funksjonen frå og med 0 til og med 9 000.

d) Teikn grafen til funksjonen. Teikn òg asymptotane. Bruk grafen til å finne ut kva gjennomsnittsprisen per køyrde kilometer blir når Tove køyrer 300 kilometer, 500 kilometer og 2 000 kilometer.

Løysing

Vi skriv inn funksjonen i CAS og bruker kommandoen Asymptote for å finne og få teikna asymptotane. Så finn vi dei tre gjennomsnittsprisane ved å lage punkt på grafen, sjå linje 3, 4 og 5 i CAS-utklippet.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive P av x kolon er lik parentes 3 x pluss 10000 parentes slutt delt på x. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive l 1 kolon er lik Asymptote parentes P av x parentes slutt. Svaret er l 1 kolon er lik sløyfeparentes y er lik 3 og x er lik 0 sløyfeparentes slutt. På linje 3 er det skrive A kolon er lik parentes 300 komma P av 300 parentes slutt. Svaret med tilnærming er A kolon er lik parentes 300 komma 36,33. På linje 4 er det skrive B kolon er lik parentes 500 komma P av 500 parentes slutt. Svaret er B kolon er lik parentes 500 komma 23. På linje 5 er det skrive C kolon er lik parentes 2000 komma P av 2000 parentes slutt. Svaret er C kolon er lik parentes 2000 komma 8. Skjermutklipp.

Grafen til funksjonen P av x er lik parentes 3 x pluss 10000 parentes slutt delt på x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 9000. Dei rette linjene x er lik 0 og y er lik 3 er også teikna inn. Tre punkt på grafen er markerte. Det er punktet med koordinatar 300 og 36,33, punktet med koordinatar 500 og 23 og punktet med koordinatar 2000 og 8. Grafen smyg seg inntil begge dei rette linjene. Skjermutklipp. — Graf over prisen per køyrde kilometer

Funksjonen vart lagd inn utan å ta omsyn til definisjonsmengda. Det kan sjå ut som kommandoen Asymptote ikkje verkar då. Grafen viser at ved ei total køyrelengde på 300 kilometer blir prisen per kilometer 36 kroner. Ved total ei køyrelengde på 500 kilometer, blir prisen per kilometer 23 kroner, og ved ei total køyrelengde på 2 000 kilometer, blir prisen per kilometer 8 kroner.

Gjennomsnittleg pris per kilometer minkar når køyrelengda aukar. Grafen søkk veldig fort til å byrje med, for så å flate ut.

e) Kva betyr det i praksis at den horisontale asymptoten er $y = 3$ ?

Løysing

Dette svarer til kva den gjennomsnittlege prisen per kilometer nærmar seg mot når den totale køyrelengda blir veldig stor. Jo lengre Tove køyrer, jo nærare kjem prisen per kilometer 3 kroner.

f) Kva betyr det i praksis at den vertikale asymptoten er $x = 0$ ?

Løysing

Det betyr at når talet på køyrde kilometer går mot null, går prisen per kilometer mot uendeleg.

2.1.51

Mange bakteriofagar angrip ein bakterie. Bakterien er avlang og grøn. Bakteriofagane er små og illustrerte med rosa hovud og edderkoppbein. Illustrasjon.

Jonas har fått ein bakterieinfeksjon som krev medisinar i form av tablettar. Konsentrasjon av medisin i blodet kan bereknast med funksjonsuttrykket $K (x) = \frac{23 x}{x^{2} + 4}$ .

$K (x)$ gir konsentrasjon av medisin i blodet i $mg / mL$ , og $x$ er timar etter at tabletten er teken.

a) Kva slags funksjon er $K (x)$ ?

Løysing

$K (x)$ består av eit polynom i både teljaren og nemnaren. $K (x)$ er ein rasjonal funksjon.

b) Rekn ut konsentrasjonen av medisin i blodet til pasienten etter 0,5 time, 2, 6 og 12 timar.

Løysing

$\begin{matrix} x & 0, 5 & 2 & 6 & 12 \\ K (x) & 2, 71 & 5, 75 & 3, 45 & 1, 86 \end{matrix}$

c) Etter ei veke får Jonas beskjed om at han skal få ein lågare dose medisin, slik at konsentrasjon av medisin i blodet blir halvert. Set opp eit nytt funksjonsuttrykk $H (x)$ som gir konsentrasjonen av medisin i blodet når han halverer dosen.

Løysing

$\begin{array}{rcl} H (x) & = & \frac{23 x}{x^{2} + 4} : 2 \\ = & \frac{23 x}{x^{2} + 4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{23 x}{2 x^{2} + 8} \end{array}$

d) Teikn $K (x)$ og $H (x)$ i det same koordinatsystemet.

Løysing

Vi bruker grafteiknar og legg inn funksjonsuttrykka $K (x)$ og $H (x)$ :

Grafen til funksjonen K av x er lik parentes 23 x parentes slutt delt på parentes x i andre pluss 4 parentes slutt er teikna inn i eit koordinatsystem for x-verdiar frå minus 0,5 til 6. Grafen til funksjonen H av x er lik parentes 23 x parentes slutt delt på parentes 2 x i andre pluss 8 parentes slutt er teikna inn i det same koordinatsystemet. Skjermutklipp.

e) Undersøk om $K (x)$ eller $H (x)$ har asymptotar.

Sju raudruss sit på ein kant. Biletet er teke slik at vi berre ser dei frå halsen og ned. Foto.

2.1.52

Ei gruppe elevar på Rundkollen vidaregåande skule planlegg å dele på russebuss. Dei får tilbod om å kjøpe ein buss for 65 000 kroner og reknar med å bruke 17 000 kroner til å pusse han opp. I tillegg bestiller dei russeklede for 3 500 kroner kvar og billettar til landstreff til 2 300 per billett.

a) Set opp eit funksjonsuttrykk som viser dei samla utgiftene $U (x)$ per elev.

Løysing

Felles utgifter (buss og oppussing): $65 000 + 17 000 = 82 000$

Individuelle utgifter (russeklede og billett til Landstreff Stavanger): $3 500 + 2 300 = 5 800$

$x$ er talet på elevar.

$U (x) = \frac{82 000}{x} + 5 800 \cdot x = \frac{82 000 + 5 800 x}{x}$

b) Elevane reknar ut at dei ikkje kan vere færre enn 8 eller fleire enn 16 på bussen. Set opp definisjonsmengde og verdimengde for $U (x)$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} D_{U} & = & [8, 16] \\ V_{U} & = & [10 925, 16 050] \end{array}$

c) Finn asymptotane til funksjonen, og forklar kva dei betyr i praksis.

Løysing

Den vertikale asymptoten, $x = 0$ , viser at det må vere fleire enn 0 russ. Vi kan ikkje ha $0$ i nemnaren. Den horisontale asymptoten er $y = 5 800$ . Han viser at uansett kor mange elevar som blir med på russebussen, vil dei samla utgiftene aldri bli mindre enn 5 800 kroner.

2.1.53

a) Marco har kjøpt den første bilen sin. Han betaler 5 800 kroner i månaden i billån. Bensinkostnader blir berekna til 9,8 kroner per mil. Set opp eit funksjonsuttrykk $B (x)$ som viser Marco sine månadlege utgifter til bil per kilometer.

Løysing

$B (x) = \frac{5 800 + 0, 98 x}{x}$

b) Staden der Marco bur, innfører bomring. Marco reknar ut at kostnader til bompengar i gjennomsnitt blir 0,19 kroner per kilometer bilkøyring. Gjer om på $B (x)$ slik at bompengane kjem med i uttrykket.

Løysing

$\begin{array}{rcl} B (x) & = & \frac{5 800 + (0, 98 + 0, 19) x}{x} \\ = & \frac{5 800 + 1, 17 x}{x} \end{array}$

c) Bestefaren til Marco får av og til skyss til butikken av Marco. Det set han stor pris på, og han tilbyr å hjelpe Marco litt med utgiftene til bilen. "Eg betaler dei månadlege utgiftene dine for dei første 50 kilometerane", seier han. Gjer om på $B (x)$ slik at det viser kva Marco må betale i månadlege utgifter til bil per kilometer.

Løysing

$B (x) = \frac{5 800 + 1, 17 x}{x - 50}$

d) Teikn grafen til $B (x)$ , og ta med eventuelle asymptotar.

Løysing

Vi teiknar inn grafen til $B (x)$ og asymptotane:

Grafen til funksjonen B av x er lik parentes 5800 pluss 1,17 x parentes slutt delt på parentes x minus 50 parentes slutt er teikna inn i eit koordinatsystem for x-verdiar frå minus 80 til 260. Ei loddrett linje er teikna for x er lik 50. Grafen til B veks når ein nærmar seg denne linja frå høgre side, mens grafen til B minkar når ein nærmar seg linja frå venstre side. Ei vassrett linje y er lik 1,17 er teikna inn. Grafen til B nærmar seg denne verdien når x veks mot pluss eller mot minus uendeleg. Skjermutklipp.

d) Kva skjer dersom Marco køyrer 50 kilometer eller mindre i løpet av ein månad? Kva viser grafen til $B (x)$ , og korleis trur du dette blir løyst i praksis?

2.1.54

Ei elevbedrift vil lage mobildeksel med logoen til skulen på. Mobildeksel skal seljast til elevar og tilsette. Dei må leige ein 3D-skrivar, og det kostar 5 250 kroner. I tillegg går det med materiell for 0,67 kroner per deksel.

a) Set opp eit funksjonsuttrykk som viser utgifter per deksel $D (x)$ , der $x$ er talet på mobildeksel.

Løysing

$D (x) = \frac{5 250 + 0, 67 x}{x}$

b) Kvart mobildeksel skal ha logoen til skulen i gullbokstavar, og det kostar 0,23 kroner ekstra per deksel. Gjer om $D (x)$ slik at kostnader til logoen til skulen blir tekne med.

Løysing

$\begin{array}{rcl} D (x) & = & \frac{5 250 + (0, 67 + 0, 23) x}{x} \\ = & \frac{5 250 + 0, 9 x}{x} \end{array}$

c) Skulen bestemmer at alle tilsette skal få eit gratis mobildeksel. Det er 82 tilsette ved skulen. Dette medfører at utgiftene til produksjon av deksel berre blir delte på deksla som blir selde. Gjer om på $D (x)$ for å berekne den nye prisen per mobildeksel.

Løysing

$\begin{array}{rcl} D \end{array} \begin{array}{rcl} (x) \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{5 250 + 0, 9 x}{x - 82} \end{array}$