Eksakte trigonometriske verdiar

Sjå einingssirkelen nedanfor der du kan dra i punktet $P$. Ut ifrå den har vi at

• $\cos v=x$-koordinaten til punktet $P$.

• $\sin v=y$-koordinaten til punktet $P$.

Legg til ein spegelvend kopi av trekanten slik figuren nedanfor viser.

I boksen "Tips til oppgåva" har vi teikna inn med stipla linjer ein like stor, spegelvend trekant. Sjå figuren nedanfor.

Heile figuren blir ein likesida trekant fordi alle vinklane blir 60°. Sidene er det same som hypotenusen i den opphavlege trekanten. Grenselinja mellom dei to trekantane deler den loddrette sida i to like delar sidan dei to trekantane er spegelbilete av kvarandre. Kvar del er det same som den kortaste kateten i den opphavlege trekanten. Derfor er den kortaste kateten halvparten av hypotenusen i ein trekant der vinklane er 30°, 60° og 90°.

Bruk definisjonane av sinus og cosinus ut ifrå ein rettvinkla trekant. Kall lengda av den kortaste kateten for $x$.

Vi set den kortaste kateten lik $x$. Då blir hypotenusen $2x$. Sett frå vinkelen på 30° får vi at

$\sin 30°=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$

Sett frå vinkelen på 60° får vi at

$\cos 60°=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$

Rekn ut lengda av den lengste kateten først.

Vi bruker pytagorassetninga til å rekne ut lengda av den lengste kateten. Vi set som før den kortaste kateten lik $x$, som gir at hypotenusen blir $2x$. Den lengste kateten blir

$\sqrt{{\left(2x\right)}^2-x^2}=\sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x$

Då får vi

$\begin{array}{rcl}\sin 60°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & & \end{array}$
$\cos 30°=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\begin{array}{rcl}\tan 30°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ & =& \frac{1·\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ \tan 60°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}\end{array}$

Start med å setje katetane lik $x$. Teikn trekanten.

Dei to katetane er like lange, og vi set dei lik $x$. Så bruker vi pytagorassetninga til å rekne ut hypotenusen, som blir

$\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}x$

Då får vi

$\begin{array}{rcl}\sin 45°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ & =& \cos 45°\end{array}$

$\tan 45°=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{x}{x}=1$