Monotonieigenskapar og forteiknslinja til den deriverte

Grafen ser ut som ein parabel med toppunkt i $\left(2,1\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ veks når $x<2$ og søkk når $x>2$.

I tillegg til toppunktet $\left(2,1\right)$ kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunkta $x=1$ og $x=3$. Funksjonen er derfor større enn null når $1<x<3$. Elles er han mindre enn null utanom nullpunkta.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte positiv når $x<2$, null når $x=2$ og negativ når $x>2$.

Forteiknslinjene for f og $f\text{'}$ blir derfor som nedanfor.

Grafen ser ut som ein parabel med botnpunkt i $\left(-0.5,-2.25\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ søkk når $x<-\mathrm{0,5}$ og stig når $x>-\mathrm{0,5}$.

I tillegg til botnpunktet $\left(-0.5,-2.25\right)$ kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunkta $x=-2$ og $x=1$. Funksjonen er derfor mindre enn null når $-2<x<1$. Elles er han større enn null utanom nullpunkta.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte negativ når $x<-\mathrm{0,5}$, null når $x=-\mathrm{0,5}$ og positiv når $x>-\mathrm{0,5}$.

Forteiknslinjene for f og $f\text{'}$ blir derfor som nedanfor.

Grafen ser ut som ein parabel med botnpunkt i $\left(0.5,0.75\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ søkk når $x<\mathrm{0,5}$ og stig når $x>\mathrm{0,5}$.

Grafen ligg over x-aksen heile tida. Funksjonen er derfor alltid større enn null.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte negativ når $x<\mathrm{0,5}$, null når $x=\mathrm{0,5}$ og positiv når $x>\mathrm{0,5}$.

Forteiknslinjene for f og $f\text{'}$ blir derfor som nedanfor.

Legg merke til at her kan vi ikkje finne funksjonsverdiar. Grafen har eit toppunkt for $x=-\mathrm{0,2}$, det vil seie i $\left(-0.2,f\left(-0.2\right)\right)$, og eit botnpunkt for $x=\mathrm{3,5}$, det vil seie i $\left(-0.2,f\left(-0.2\right)\right)$. Det betyr òg at $f\left(x\right)$ veks når $x<-\mathrm{0,2}$ og når $x>\mathrm{3,5}$ og søkk når $-\mathrm{0,2}<x<\mathrm{3,5}$.

I tillegg til toppunktet for $x=-\mathrm{0,2}$ og botnpunktet for $x=\mathrm{3,5}$ kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunktet $x=-\mathrm{2,1}$. Funksjonen er derfor mindre enn null når $x<-\mathrm{2,1}$. Elles er han større enn null utanom nullpunktet.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte positiv når $x<-\mathrm{0,2}$ og når $x>\mathrm{3,5}$, null når $x=-\mathrm{0,2}$ og når $x=\mathrm{3,5}$ og negativ når $-\mathrm{0,2}<x<\mathrm{3,5}$.

Forteiknslinjene for f og $f\text{'}$ blir derfor som nedanfor.

Funksjonen har nullpunkta $x=0$ og $x=4$. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit toppunkt når $x=2$. Det betyr at $f\left(x\right)$ veks når $x<2$ og søkk når $x>2$. Grafen til funksjonen kan sjå ut som på figuren nedanfor. Vi kan ikkje finne ut kva y-koordinaten til toppunktet er. Derfor er det ikkje noko poeng i å ha skala på y-aksen.

Funksjonen har nullpunkta $x=-4$ og $x=1$. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit botnpunkt når $x=-\mathrm{1,5}$. Det betyr at $f\left(x\right)$ kan ha form som ein parabel og kan sjå ut som på figuren nedanfor. Vi kan ikkje finne ut kva y-koordinaten til botnpunktet er. Derfor er det ikkje noko poeng i å ha skala på y-aksen.

Funksjonen har nullpunkta $x=-2, x=-1$ og $x=3$. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit botnpunkt når $x=-\mathrm{1,5}$  og eit toppunkt når  $x=\mathrm{1,5}$. Det betyr at $f\left(x\right)$ søkk når $x<-\mathrm{1,5}$ og når $x>\mathrm{1,5}$ og veks når $-\mathrm{1,5}<x<\mathrm{1,5}$. Grafen til funksjonen kan derfor sjå ut omtrent som på biletet nedanfor.

Ifølgje forteiknslinja til f skal funksjonen vere større enn null, krysse x-aksen for $x=-4$ og vere mindre enn null eit stykke. Det må bety at grafen søkk i eit intervall rundt $x=-4$. Men ifølgje forteiknslinja til $f\text{'}$ skal funksjonen vere stigande i dette området sidan forteiknslinja er heiltrekt akkurat her. Det må derfor vere ein feil i dette forteiknsskjemaet.

Viss vi lèt forteiknslinja til $f\text{'}$ vere stipla når $x<-\mathrm{1,5}$ og heiltrekt når $x>-\mathrm{1,5}$, blir det samsvar med forteiknslinja til f.