Monotonieigenskapar og forteiknslinja til den deriverte

Grafen ser ut som ein parabel med toppunkt i $\left(2, 1\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ veks når  $x<2$  og søkk når  $x>2$.

I tillegg til toppunktet $\left(2, 1\right)$ kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunkta  $x=1$  og  $x=3$. Funksjonen er derfor større enn null når  $1<x<3$. Elles er han mindre enn null utanom nullpunkta.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte positiv når  $x<2$, null når  $x=2$  og negativ når  $x>2$.

Forteiknslinjene for $f$ og $f^{\text{'}}$ blir derfor som nedanfor.

Grafen ser ut som ein parabel med botnpunkt i $\left(-0.5, -2.25\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ søkk når  $x<-0,5$  og stig når  $x>-0,5$.

I tillegg til botnpunktet $\left(-0.5, -2.25\right)$ kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunkta  $x=-2$  og  $x=1$. Funksjonen er derfor mindre enn null når  $-2<x<1$. Elles er han større enn null utanom nullpunkta.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte negativ når  $x<-0,5$, null når  $x=-0,5$  og positiv når  $x>-0,5$.

Forteiknslinjene for $f$ og $f^{\text{'}}$ blir derfor som nedanfor.

Grafen ser ut som ein parabel med botnpunkt i $\left(0.5, 0.75\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ søkk når  $x<0,5$  og stig når  $x>0,5$.

Grafen ligg over $x$-aksen heile tida. Funksjonen er derfor alltid større enn null.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte negativ når  $x<0,5$, null når  $x=0,5$  og positiv når  $x>0,5$.

Forteiknslinjene for $f$ og $f^{\text{'}}$ blir derfor som nedanfor.

Grafen har eit lokalt maksimalpunkt for  $x=-0,2$  og eit lokalt minimalpunkt for  $x=3,5$. Vi har derfor eit toppunkt i $\left(-0.2,f\left(-0.2\right)\right)$ og eit botnpunkt i $\left(3.5,f\left(3.5\right)\right)$. Det betyr òg at $f\left(x\right)$ veks når  $x<-0,2$  og når  $x>3,5$  og søkk når  $-0,2<x<3,5$.

I tillegg til det lokale maksimalpunktet  $x=-0,2$  og det lokale minimalpunktet  $x=3,5$  kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunktet  $x=-2,1$. Funksjonen er derfor mindre enn null når  $x<-2,1$. Elles er han større enn null utanom nullpunktet.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte positiv når  $x<-0,2$  og når  $x>3,5$, null når  $x=-0,2$  og når  $x=3,5$  og negativ når  $-0,2<x<3,5$.

Forteiknslinjene for $f$ og $f^{\text{'}}$ blir derfor som nedanfor.

Funksjonen har nullpunkta  $x=0$  og  $x=4$. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit toppunkt når  $x=2$. Det betyr at $f\left(x\right)$ veks når  $x<2$  og søkk når  $x>2$. Grafen til funksjonen kan sjå ut som på figuren nedanfor. Vi kan ikkje finne ut kva $y$-koordinaten til toppunktet er. Derfor er det ikkje noko poeng i å ha skala på $y$-aksen.

Funksjonen har nullpunkta  $x=-4$  og  $x=1$. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit botnpunkt når  $x=-1,5$. Det betyr at $f\left(x\right)$ kan ha form som ein parabel og kan sjå ut som på figuren nedanfor. Vi kan ikkje finne ut kva $y$-koordinaten til botnpunktet er. Derfor er det ikkje noko poeng i å ha skala på $y$-aksen.

Funksjonen har nullpunkta  $x=-2, x=-1$  og  $x=3$. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit botnpunkt når  $x=-1,5$  og eit toppunkt når  $x=1,5$. Det betyr at $f\left(x\right)$ søkk når  $x<-1,5$  og når  $x>1,5$ og veks når  $-1,5<x<1,5$. Grafen til funksjonen kan derfor sjå ut omtrent som på biletet nedanfor.

Ifølgje forteiknslinja til $f$ skal funksjonen vere større enn null, krysse $x$-aksen for  $x=-4$  og vere mindre enn null eit stykke. Det må bety at grafen søkk i eit intervall rundt  $x=-4$. Men ifølgje forteiknslinja til $f^{\text{'}}$ skal funksjonen vere stigande i dette området sidan forteiknslinja er heiltrekt akkurat her. Det må derfor vere ein feil i dette forteiknsskjemaet.

Viss vi lèt forteiknslinja til $f^{\text{'}}$ vere stipla når  $x<-1,5$  og heiltrekt når  $x>-1,5$, blir det samsvar med forteiknslinja til $f$.