Monotonieigenskapar og forteiknslinja til den deriverte

Monotonieigenskapar

Monotonieigenskapane til ein funksjon fortel kor grafen til funksjonen stig og kor han søkk.

Å analysere og tolke ein funksjon betyr gjerne at vi undersøkjer monotonieigenskapar og bestemmer topp- og botnpunkt på grafen. Vidare kan det handle om å bestemme definisjonsmengde, verdimengde, nullpunkt, krummingsforhold og vendepunkt (meir om dette på ei anna fagstoffside).

Døme 1

Finn monotonieigenskapane til funksjonen $f$ ut ifrå grafen til funksjonen nedanfor.

Løysing

Vi observerer at grafen har toppunktet $\left(2, 1\right)$. Grafen til funksjonen stig når  $x<2$  og søkk når  $x>2$. Monotonieigenskapane til funksjonen er derfor at

• funksjonen veks for  $x<2$
• funksjonen minkar for  $x>2$

Monotonieigenskapar og den deriverte

Utforsking

Teikn grafen til tredjegradsfunksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}x+1$

Teikn deretter tangentar til grafen for nokre $x$-verdiar mellom $-2$ og $3$.

Undersøk om det er ein samanheng mellom stigingstalet til tangentane og om grafen stig, søkk eller har topp- og botnpunkt.

Nedanfor kan du dra i det raude punktet på grafen og sjå korleis stigingstalet $a$ til tangenten endrar seg.

• Last ned simuleringa her dersom ho ikkje blir vist.(GGB)

Du vil oppdage at

• stigingstalet til tangenten er positivt når grafen stig
• stigingstalet til tangenten er negativt når grafen søkk
• stigingstalet til tangenten er 0 i topp- og botnpunkt

Dette betyr at vi kan finne ut for kva verdiar av $x$ grafen til ein funksjon stig, for kva verdiar av $x$ han søkk, og når han har topp- eller botnpunkt, ved å sjå på forteiknet til den deriverte. Forteiknslinjer kan hjelpe oss med dette.

Forteiknslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen

Vi kan beskrive eigenskapane til ein funksjon ved å teikne forteiknslinjene til funksjonen og til den deriverte funksjonen.

Døme 2

Teikn forteiknslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen i døme 1 over.

Løysing

Forteiknslinja til funksjonen blir bestemd av om grafen ligg over eller under $x$-aksen. Vi observerer at funksjonen har nullpunkt for  $x=1$  og  $x=3$. Det betyr at

• $f\left(x\right)>0$  når  $1<x<3$
• $f\left(x\right)<0$  når  $x<1$  og når  $x>3$
• $f\left(x\right)=0$  når  $x=1$  og når  $x=3$

Vi fann monotonieigenskapane til funksjonen i døme 1. Det betyr at

• $f^{\text{'}}\left(x\right)>0$  når  $x<2$
• $f^{\text{'}}\left(x\right)<0$  når  $x>2$
• $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$  når  $x=2$

Denne informasjonen kan vi samanfatte i eit felles forteiknsskjema for $f$ og $f^{\text{'}}$.

Nedanfor har vi vist korleis vi kan teikne forteiknsskjemaet inn i koordinatsystemet saman med grafen.