Monotoniegenskaper og fortegnslinja til den deriverte

Grafen ser ut som en parabel med toppunkt i $\left(2, 1\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ vokser når  $x<2$  og synker når  $x>2$.

I tillegg til toppunktet $\left(2, 1\right)$ kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktene  $x=1$  og  $x=3$. Funksjonen er derfor større enn null når  $1<x<3$. Ellers er den mindre enn null utenom nullpunktene.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte positiv når  $x<2$, null når  $x=2$  og negativ når  $x>2$.

Fortegnslinjene for $f$ og $f^{\text{'}}$ blir derfor som nedenfor.

Grafen ser ut som en parabel med bunnpunkt i $\left(-0.5, -2.25\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ synker når  $x<-0,5$  og stiger når  $x>-0,5$.

I tillegg til bunnpunktet $\left(-0.5, -2.25\right)$ kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktene  $x=-2$  og  $x=1$. Funksjonen er derfor mindre enn null når  $-2<x<1$. Ellers er den større enn null utenom nullpunktene.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte negativ når  $x<-0,5$, null når  $x=-0,5$  og positiv når  $x>-0,5$.

Fortegnslinjene for $f$ og $f^{\text{'}}$ blir derfor som nedenfor.

Grafen ser ut som en parabel med bunnpunkt i $\left(0.5, 0.75\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ synker når  $x<0,5$  og stiger når  $x>0,5$.

Grafen ligger over $x$-aksen hele tida. Funksjonen er derfor alltid større enn null.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte negativ når  $x<0,5$, null når  $x=0,5$  og positiv når  $x>0,5$.

Fortegnslinjene for $f$ og $f^{\text{'}}$ blir derfor som nedenfor.

Grafen har et lokalt maksimalpunkt for  $x=-0,2$  og et lokalt minimalpunkt for  $x=3,5$. Vi har derfor et toppunkt i $\left(-0.2,f\left(-0.2\right)\right)$ og et bunnpunkt i $\left(3.5,f\left(3.5\right)\right)$. Det betyr også at $f\left(x\right)$ vokser når  $x<-0,2$  og når  $x>3,5$  og synker når  $-0,2<x<3,5$.

I tillegg til det lokale maksimalpunktet  $x=-0,2$  og det lokale minimalpunktet  $x=3,5$  kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktet  $x=-2,1$. Funksjonen er derfor mindre enn null når  $x<-2,1$. Ellers er den større enn null utenom nullpunktet.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte positiv når  $x<-0,2$  og når  $x>3,5$, null når  $x=-0,2$  og når  $x=3,5$  og negativ når  $-0,2<x<3,5$.

Fortegnslinjene for $f$ og $f^{\text{'}}$ blir derfor som nedenfor.

Funksjonen har nullpunktene  $x=0$  og  $x=4$. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et toppunkt når  $x=2$. Det betyr at $f\left(x\right)$ vokser når  $x<2$  og synker når  $x>2$. Grafen til funksjonen kan se ut som på figuren nedenfor. Vi kan ikke finne ut hva $y$-koordinaten til toppunktet er. Derfor er det ikke noe poeng i å ha skala på $y$-aksen.

Funksjonen har nullpunktene  $x=-4$  og  $x=1$. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et bunnpunkt når  $x=-1,5$. Det betyr at $f\left(x\right)$ kan ha form som en parabel og kan se ut som på figuren nedenfor. Vi kan ikke finne ut hva $y$-koordinaten til bunnpunktet er. Derfor er det ikke noe poeng i å ha skala på $y$-aksen.

Funksjonen har nullpunktene  $x=-2, x=-1$  og  $x=3$. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et bunnpunkt når  $x=-1,5$  og et topppunkt når  $x=1,5$. Det betyr at $f\left(x\right)$ synker når  $x<-1,5$  og når  $x>1,5$ og vokser når  $-1,5<x<1,5$. Grafen til funksjonen kan derfor se ut omtrent som på bildet nedenfor.

Ifølge fortegnslinja til $f$ skal funksjonen være større enn null, krysse $x$-aksen for  $x=-4$  og være mindre enn null et stykke. Det må bety at grafen synker i et intervall rundt  $x=-4$. Men ifølge fortegnslinja til $f^{\text{'}}$ skal funksjonen være stigende i dette område siden fortegnslinja er heltrukken akkurat her. Det må derfor være en feil i dette fortegnsskjemaet.

Hvis vi lar fortegnslinja til $f^{\text{'}}$ være stiplet når  $x<-1,5$  og heltrukken når  $x>-1,5$, blir det samsvar med fortegnslinja til $f$.