Monotoniegenskaper og fortegnslinja til den deriverte

Grafen ser ut som en parabel med toppunkt i $\left(2,1\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ vokser når $x<2$ og synker når $x>2$.

I tillegg til toppunktet $\left(2,1\right)$ kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktene  $x=1$ og $x=3$. Funksjonen er derfor større enn null når $1<x<3$. Ellers er den mindre enn null utenom nullpunktene.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte positiv når $x<2$, null når $x=2$ og negativ når $x>2$.

Fortegnslinjene for f og $f\text{'}$ blir derfor som nedenfor.

Grafen ser ut som en parabel med bunnpunkt i $\left(-0.5,-2.25\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ synker når $x<-\mathrm{0,5}$ og stiger når $x>-\mathrm{0,5}$.

I tillegg til bunnpunktet $\left(-0.5,-2.25\right)$ kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktene $x=-2$ og $x=1$. Funksjonen er derfor mindre enn null når $-2<x<1$. Ellers er den større enn null utenom nullpunktene.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte negativ når $x<-\mathrm{0,5}$, null når $x=-\mathrm{0,5}$ og positiv når $x>-\mathrm{0,5}$.

Fortegnslinjene for f og $f\text{'}$ blir derfor som nedenfor.

Grafen ser ut som en parabel med bunnpunkt i $\left(0.5,0.75\right)$. Det betyr at $f\left(x\right)$ synker når $x<\mathrm{0,5}$ og stiger når $x>\mathrm{0,5}$.

Grafen ligger over x-aksen hele tida. Funksjonen er derfor alltid større enn null.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte negativ når $x<\mathrm{0,5}$, null når $x=\mathrm{0,5}$ og positiv når $x>\mathrm{0,5}$.

Fortegnslinjene for f og $f\text{'}$ blir derfor som nedenfor.

Legg merke til at her kan vi ikke finne funksjonsverdier. Grafen har et toppunkt for $x=-\mathrm{0,2}$, det vil si i $\left(-0.2,f\left(-0.2\right)\right)$, og et bunnpunkt for $x=\mathrm{3,5}$, det vil si i $\left(3.5,f\left(3.5\right)\right)$. Det betyr også at $f\left(x\right)$ vokser når $x<-\mathrm{0,2}$ og når $x>\mathrm{3,5}$ og synker når $-\mathrm{0,2}<x<\mathrm{3,5}$.

I tillegg til toppunktet for $x=-\mathrm{0,2}$ og bunnpunktet for $x=\mathrm{3,5}$ kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktet $x=-\mathrm{2,1}$. Funksjonen er derfor mindre enn null når $x<-\mathrm{2,1}$. Ellers er den større enn null utenom nullpunktet.

Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte positiv når $x<-\mathrm{0,2}$ og når $x>\mathrm{3,5}$, null når $x=-\mathrm{0,2}$ og når $x=\mathrm{3,5}$ og negativ når $-\mathrm{0,2}<x<\mathrm{3,5}$.

Fortegnslinjene for f og $f\text{'}$ blir derfor som nedenfor.

Funksjonen har nullpunktene $x=0$ og $x=4$. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et toppunkt når $x=2$. Det betyr at $f\left(x\right)$ vokser når $x<2$ og synker når $x>2$. Grafen til funksjonen kan se ut som på figuren nedenfor. Vi kan ikke finne ut hva y-koordinaten til toppunktet er. Derfor er det ikke noe poeng i å ha skala på y-aksen.

Funksjonen har nullpunktene $x=-4$ og $x=1$. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et bunnpunkt når $x=-\mathrm{1,5}$. Det betyr at $f\left(x\right)$ kan ha form som en parabel og kan se ut som på figuren nedenfor. Vi kan ikke finne ut hva y-koordinaten til bunnpunktet er. Derfor er det ikke noe poeng i å ha skala på y-aksen.

Funksjonen har nullpunktene $x=-2, x=-1$ og $x=3$. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et bunnpunkt når $x=-\mathrm{1,5}$ og et topppunkt når  $x=\mathrm{1,5}$. Det betyr at $f\left(x\right)$ synker når $x<-\mathrm{1,5}$ og når $x>\mathrm{1,5}$ og vokser når $-\mathrm{1,5}<x<\mathrm{1,5}$. Grafen til funksjonen kan derfor se ut omtrent som på bildet nedenfor.

Ifølge fortegnslinja til f skal funksjonen være større enn null, krysse x-aksen for $x=-4$ og være mindre enn null et stykke. Det må bety at grafen synker i et intervall rundt $x=-4$. Men ifølge fortegnslinja til $f\text{'}$ skal funksjonen være stigende i dette område siden fortegnslinja er heltrukken akkurat her. Det må derfor være en feil i dette fortegnsskjemaet.

Hvis vi lar fortegnslinja til $f\text{'}$ være stiplet når $x<-\mathrm{1,5}$ og heltrukken når $x>-\mathrm{1,5}$, blir det samsvar med fortegnslinja til f.